可換環 
とアーベル群 
について次の性質が成り立つとき、
は 
上の加群であるという。
ここで 
である。
概念
加群は線形空間の拡張である。線形空間はRやCを係数とするn次元の空間であり、その元をベクトルという。有限次元の線形空間は、私たちが生きている空間のように座標があり、すべての点は次元の数に一致する分の座標で一意に表される。その座標はRやCの数で書かれる。
加群Mは本質的に線形空間であり、一つ一つの元はベクトルのようなもので、座標（係数）はAの元である。
基本性質
A自身、A加群である。これはR自身がR上の線形空間（一次元の線形空間、あるいは直線）であることと対応する。
Aのイデアルは、A加群である。イデアルはAに含まれるAの加群と定義することもできる。
Aが体のとき、A加群は線形空間になる。可換環は体の一般化であり、加群は線形空間の一般化である。
例：多項式全体の集合
線形空間と同様に、加群もxやyといったものを加えることで、いくらでも新しい加群をつくることができる。
xをAと関係ないものとする。xを変数とするA係数多項式は、A上の加群になる。すなわち
といった式からなる集合である。今後これを 
と表す。多項式の足し算は同じ次数どうしの係数を足す、自明な足し算であり、スカラー倍はそれぞれの係数のかけ算である。
例：自由生成加群
上と同様、xとyをAと関係ないものとする。xとyも互いに関係ないとする。このとき
はA上の加群になる。加群の演算が成り立つことは明らかである。この集合は線形空間と似た性質を持つ。すべての元はxとyという単位ベクトルによって座標に置き換えることができる。またAが特殊な性質を持っていれば、mx+nyとpx+qyというベクトルをとって、すべての元をこの二つの線形結合で表せるかもしれない。
このようにAと関係ない記号によって生成された加群を自由生成加群という。
