置換と対称群をわかりやすく解説｜巡回記法・非可換性・偶置換と奇置換

トランプを切る、あみだくじで入口と出口を結ぶ、3 人が席を替えて座り直す。どれも「並んだものを別の順に置き直す」という点では同じ操作です。こうした並べ替えの一つ一つを数学の対象とし、続けて行う合成まで演算として備えた体系が、対称群です。

集合 $S=\{1,2,\dots ,n\}$ の元を並べ替える操作、正確には $S$ から $S$ 自身への全単射を、$n$ 次の置換と呼びます。$n$ 次の置換をすべて集めた集合が $n$ 次対称群であり、$S_n$ と書きます。並べ替え方は全部で $n!$ 通りあるので、$S_n$ は $n!$ 個の元をもつ有限集合です。

置換の書き方

置換には、標準的な書き方が 2 通りあります。一つは 2 行記法です。上の行に $1$ から $n$ を並べ、そのすぐ下に「その元の行き先」を書きます。たとえば $1$ を $2$ に、$2$ を $3$ に、$3$ を $1$ に移す置換 $\sigma$ は、こう表せます。

$$\sigma =\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 2& 3& 1\end{array}\right)$$

上の段の $2$ の真下が $3$ なので、$\sigma$ は $2$ を $3$ に送る、と読みます。仕組みは素直ですが、動かさない元まで律儀に書くので長くなりがちです。

もう一つが巡回記法です。いまの $\sigma$ は $1\to 2\to 3\to 1$ とひと回りするので、この循環を $(123)$ と書きます。一般に $(a_1{a}_2\dots a_k)$ は $a_1\to a_2\to \cdots \to a_k\to a_1$ という巡回を表し、これを長さ $k$ の巡回置換と呼びます。記号に現れない元は動かさない、という約束なので、何も動かさない恒等置換はただ $(1)$ と書けば済みます。以下では主に巡回記法を使い、必要なときだけ 2 行記法に戻ります。

$S_1$ と $S_2$

いちばん小さな対称群から始めます。$S_1$ は $\{1\}$ の置換の全体ですが、$1$ には動く先がないので、中身は恒等置換だけです。つまり $S_1=\{(1)\}$ で、元は 1 個しかありません。

$S_2$ は $\{1,2\}$ の置換で、可能性は「そのまま」か「$1$ と $2$ を入れ替える」かの 2 通りです。前者が恒等置換 $(1)$、後者が互換 $(12)$ にあたります。

$$S_2=\{(1),(12)\}$$

元は 2 個です。$S_2$ では積の順序を気にする必要がありません。$(12)$ をもう一度施せば元に戻り、恒等置換とも当然入れ替え可能なので、どんな順に並べても結果は変わらないからです。順序が問題になるのは、もう少し先です。

$S_3$ の 6 つの置換

集合が $\{1,2,3\}$ になると、置換は $3!=6$ 個へ一気に増えます。恒等置換が 1 つ、2 元を入れ替える互換が 3 つ、3 元をぐるりと回す巡回置換が 2 つ、という内訳です。

この 6 つを集合にまとめると、次のようになります。

$$S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$$

2 つの巡回置換 $(123)$ と $(132)$ は、回す向きがちょうど逆の関係にあります。$(123)$ の矢印をすべて巻き戻すと $1\to 3\to 2\to 1$、すなわち $(132)$ になるからです。この「逆回し」は、あとで逆置換として効いてきます。

置換の積（合成）

置換は操作ですから、2 つを続けて施せば、その全体もまた一つの置換になります。これを置換の積と呼びます。本記事では $\sigma \tau$ と書いたら、まず $\tau$ を、次に $\sigma$ を施すと約束します。関数の合成 $\sigma \circ \tau$ と同じ、右から左へ読む向きです。

試しに $(12)(13)$ を計算します。右の $(13)$ が先、左の $(12)$ が後です。$1$ は $(13)$ で $3$ に移り、$(12)$ では動かないので、行き先は $3$。$2$ は $(13)$ で不動、$(12)$ で $1$ に移るので $1$。$3$ は $(13)$ で $1$、$(12)$ で $2$ となって $2$ です。まとめると $1\to 3$、$3\to 2$、$2\to 1$ と、ひと続きの巡回になります。

$$(12)(13)=(132)$$

もう一例、$(123)(12)$ を求めます。先に $(12)$、あとに $(123)$ です。$1$ は $(12)$ で $2$、$(123)$ で $3$ となり $3$ へ。$2$ は $(12)$ で $1$、$(123)$ で $2$ に戻って不動。$3$ は $(12)$ で動かず、$(123)$ で $1$ に移って $1$ へ。結局 $1$ と $3$ だけが入れ替わります。

$$(123)(12)=(13)$$

巡回置換どうしの積が、互換のように短い置換になることもある、というわけです。

積は交換できない

ふつうの数のかけ算は $3\times 5=5\times 3$ と順序を変えても同じですが、置換の積ではそうはいきません。さきほどの $(12)(13)=(132)$ に対して、順序を逆にした $(13)(12)$ を計算してみます。$1$ は $(12)$ で $2$、$(13)$ で不動なので $2$ へ。$2$ は $(12)$ で $1$、$(13)$ で $3$ になり $3$ へ。$3$ は $(12)$ で不動、$(13)$ で $1$ となって $1$ へ。今度の結果は $(123)$ です。

$$(12)(13)=(132),(13)(12)=(123)$$

同じ 2 つの互換でも、施す順番が違えば別の置換になります。

積が可換でない群を非可換群と呼びます。$S_3$ は、元の個数が最小の非可換群です。$S_1$ と $S_2$ は可換でしたから、順序の効き目は、動かす文字が 3 つ以上そろってはじめて現れます。

対称群は群である

「群」と名のつくとおり、$S_n$ は群の公理を満たします。置換の積を演算として、次の 4 つがそろっています。

逆置換は手を動かして作れます。巡回置換なら、回す向きを反対にするだけです。$(123)$ の逆は $1\to 3\to 2\to 1$、つまり $(132)$ で、実際に $(123)(132)=(1)$ が確かめられます。互換は自分自身が逆で、$(12)(12)=(1)$ です。2 行記法なら、上下の段を入れ替えてから上段を昇順に並べ直せば、逆置換が読み取れます。

置換の個数は $n!$

$S_n$ の元がちょうど $n!$ 個であることは、並べ替えの数え上げからすぐ出ます。置換は、$1$ の行き先を決め、続いて $2$ の行き先を決め、と順に作っていけます。$1$ の行き先は $n$ 通り、$2$ の行き先は残りの $n-1$ 通り、と選択肢が一つずつ減り、最後の元の行き先は自動的に決まります。

$$|S_n|=n\times (n-1)\times \cdots \times 2\times 1=n!$$

小さいほうから並べると、$|S_1|=1$、$|S_2|=2$、$|S_3|=6$、$|S_4|=24$、$|S_5|=120$ です。$n$ が 1 増えるたびに元の数は $n+1$ 倍にふくらみ、$S_{10}$ ともなると $10!=3628800$、実に 360 万を超えます。対称群が、小さな $n$ でもたちまち巨大になる群の代表格とされるゆえんです。

巡回置換と互換

巡回記法の便利さは、一般の $S_n$ でこそ際立ちます。どんな置換も、共通の元をもたない巡回置換（互いに素な巡回置換）の積として、並べる順序を除けばただ 1 通りに分解できるからです。次の $S_5$ の置換で見てみます。

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 1& 2& 5& 4\end{array}\right)$$

$1$ から矢印をたどると $1\to 3\to 2\to 1$ と一周し、残った $4$ と $5$ は $4\to 5\to 4$ と入れ替わるだけです。2 つの循環は元を共有しないので、そのまま積の形にまとめられます。

$$\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 3& 1& 2& 5& 4\end{array}\right)=(132)(45)$$

さらに、巡回置換は互換だけの積にまで刻めます。長さ $k$ の巡回置換は $k-1$ 個の互換で書けて、たとえば次の等式が成り立ちます。

$$(123)=(13)(12),(1234)=(14)(13)(12)$$

先頭の元を、相手を替えながら次々に入れ替えていく、と読めば覚えやすいでしょう。これを互いに素な巡回置換への分解と組み合わせれば、任意の置換が互換の積で表せます。あらゆる並べ替えが、2 つを取り替えるだけの操作の繰り返しに還元できる、ということです。

偶置換と奇置換

一つの置換を互換の積で書く方法は、1 通りではありません。それでも、使う互換の個数が偶数か奇数かだけは、書き方によらず置換ごとに決まっています。この不変性は証明を要しますが、認めてしまえば置換を 2 つの組にきれいに仕分けできます。偶数個の互換で表せる置換を偶置換、奇数個で表せる置換を奇置換と呼びます。

長さ $k$ の巡回置換は $k-1$ 個の互換の積でしたから、偶奇は $k-1$ の偶奇で決まります。互換そのもの（$k=2$）は奇置換、3 元の巡回置換（$k=3$）は偶置換です。この物差しで $S_3$ を仕分けると、偶置換は $(1)$、$(123)$、$(132)$ の 3 つ、奇置換は $(12)$、$(13)$、$(23)$ の 3 つになります。

偶置換だけを集めた集合は、それ自体がまた群をなし、交代群 $A_n$ と呼ばれます。偶置換どうしの積も逆も偶置換のままなので、この集まりは積で閉じているからです。$S_3$ の偶置換は 3 つなので $A_3=\{(1),(123),(132)\}$、そして偶置換と奇置換はつねに半々に分かれるので、$|A_n|=n!/2$ が成り立ちます。

$S_4$ を覗く

しめくくりに、$4!=24$ 個の元をもつ $S_4$ を、かたちごとに数えてみます。同じ型の置換をまとめると、次の 5 種類に分かれます。

合計は $1+6+8+6+3=24$ で、きっちり $4!$ に一致します。偶奇で眺めると、恒等置換・3 元巡回置換・二重互換の $1+8+3=12$ 個が偶置換で、これが交代群 $A_4$ をなします。残る互換と 4 元巡回置換の $6+6=12$ 個が奇置換で、$S_4$ でも偶と奇はちょうど半分ずつです。

理解の確認

あらゆる有限群は対称群の中にいる

置換は、並べ替えという具体的で手ざわりのある操作です。ところが対称群は、その素朴さに似合わず、群論全体の土台をなしています。ケイリーの定理によれば、どんな有限群も、ある対称群 $S_n$ の部分群と同一視できます。群の各元を「左からかける」操作とみなすと、その操作が群の元をちょうど並べ替える置換になるからです。抽象的に定義された群も、突きつめれば何かを並べ替えているにすぎない、というわけです。トランプやあみだくじから始まった対称群が、これほど広く顔を出すのは、この普遍性のおかげです。