対称群の定義といくつかの例

集合 $S=\{1,2,\dots ,n\}$ の元を順序を変えて並べかえる操作を $n$ 次の置換といい、その集合を対称群 $S_n$ といいます。

$S_2$（2 次対称群）

$S_2$ は、2 つの置換から構成されます。

恒等置換 $(1)$
交換 $(12)$（1 と 2 を交換）

$$S_2=\{(1),(12)\}$$

$S_3$（3 次対称群）

$S=\{1,2,3\}$ の対称群 $S_3$ は、次の 6 つの置換から構成されます。

恒等置換 $(1)$
2 元の交換 $(12),(13),(23)$
3 元の循環 $(123),(132)$

$$S_3=\{(1),(12),(13),(23),(123),(132)\}$$

循環が少し難しいですね。例えば $(123)$ は

1 → 2
2 → 3
3 → 1

を意味します。