対称群の定義といくつかの例

集合 $S = {1, 2, \dots, n}$ の元を順序を変えて並べかえる操作を $n$ 次の置換といい、その集合を対称群 $S_{n}$ といいます。

$S_{2}$ （2 次対称群）

$S_{2}$ は、2 つの置換から構成されます。

恒等置換 $(1)$
交換 $(12)$ （1 と 2 を交換）

$S_{2} = {(1), (12)}$

$S = {1, 2, 3}$ の対称群 $S_{3}$ は、次の 6 つの置換から構成されます。

恒等置換 $(1)$
2 元の交換 $(12), (13), (23)$
3 元の循環 $(123), (132)$

$S_{3} = {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}$

循環が少し難しいですね。例えば $(123)$ は

1 → 2
2 → 3
3 → 1

を意味します。