2つの曲線に同時に接する直線「共通接線」を接点から探す

$y = x^{2}$ と $y = - x^{2} + 4 x - 4$ には、両方に接する直線が 2 本あります。 $y = 4 x - 4$ と $y = 0$ です。

1 本の直線が、別々の場所で 2 つの曲線に触れている。こういう直線を共通接線といいます^[1]。

接点が 2 つあるので、文字も 2 つ要ります。片方を $t$ 、もう片方を $s$ とおくところから始めます。

2 本の接線が一致する条件

まず、それぞれの曲線の接線を別々に書きます。

$y = x^{2}$ の接点を $(t, t^{2})$ とすると、接線は $y = 2 t x - t^{2}$ です。

$y = - x^{2} + 4 x - 4$ の接点を $(s, - s^{2} + 4 s - 4)$ とすると、導関数が $- 2 x + 4$ なので接線はこうなります。

$y = (- 2 s + 4) (x - s) - s^{2} + 4 s - 4 = (- 2 s + 4) x + s^{2} - 4$

この 2 本が同じ直線になるとき、傾きどうしと切片どうしがそれぞれ等しくなります。

それぞれの接線を文字で書く

傾きが等しいという式を立てる

切片が等しいという式を立てて連立する

直線は傾きと切片で決まるので、条件はこの 2 つで足ります。

例：向かい合う 2 つの放物線

上の式で連立します。傾きから $2 t = - 2 s + 4$ 、つまり $t = 2 - s$ 。

切片から $- t^{2} = s^{2} - 4$ です。 $t = 2 - s$ を代入します。

$- (2 - s)^{2} - 4 + 4 s - s^{2} 4 s = s^{2} - 4 = s^{2} - 4 = 2 s^{2}$

$2 s (s - 2) = 0$ から $s = 0$ または $s = 2$ 。

$s = 0$ なら $t = 2$ で、接線は $y = 4 x - 4$ 。接点は $(2, 4)$ と $(0, - 4)$ です。

$s = 2$ なら $t = 0$ で、接線は $y = 0$ 。接点は $(0, 0)$ と $(2, 0)$ になります。

赤い線は $(2, 4)$ と $(0, - 4)$ で、緑の線は $(0, 0)$ と $(2, 0)$ で触れています。接点は全部で 4 か所。

例：同じ向きの 2 つの放物線

$y = x^{2}$ と $y = 2 x^{2} - 8$ の共通接線を求めます。

$y = 2 x^{2} - 8$ の接点を $(s, 2 s^{2} - 8)$ とすると、導関数が $4 x$ なので接線は次のとおり。

$y = 4 s (x - s) + 2 s^{2} - 8 = 4 s x - 2 s^{2} - 8$

傾きから $2 t = 4 s$ で $t = 2 s$ 。切片から $- t^{2} = - 2 s^{2} - 8$ です。

$- (2 s)^{2} = - 2 s^{2} - 8$ から $- 4 s^{2} = - 2 s^{2} - 8$ 、つまり $2 s^{2} = 8$ で $s = \pm 2$ 。

$s = 2$ なら $t = 4$ で接線は $y = 8 x - 16$ 。 $s = - 2$ なら $t = - 4$ で $y = - 8 x - 16$ です。

$s$	$t$	共通接線
$2$	$4$	$y = 8 x - 16$
$- 2$	$- 4$	$y = - 8 x - 16$

2 本とも $(0, - 16)$ を通ります。同じ向きに開いた放物線どうしでは、こういう対称な形になりやすい。

共通接線が引けない場合

$y = x^{2}$ と $y = x^{2} + 1$ で試します。上下に $1$ ずらしただけの、まったく同じ形の放物線です。

$y = x^{2} + 1$ の接点を $(s, s^{2} + 1)$ とすると、接線は $y = 2 s x - s^{2} + 1$ 。

傾きから $2 t = 2 s$ で $t = s$ 。切片から $- t^{2} = - s^{2} + 1$ です。

$t = s$ を入れると $- s^{2} = - s^{2} + 1$ となり、 $0 = 1$ 。成り立ちません。

共通接線は 1 本もありません。傾きをそろえると 2 本の接線は必ず平行になり、切片が $1$ だけずれたままになるためです。

形も向きも同じ放物線を平行移動しただけなら、共通接線は存在しない。

接線どうしが平行になるので、重なることがない。傾きだけそろっても足りない。

紫の放物線を持ち上げていくと、共通接線が 2 本から 1 本になり、やがて消えます。 $2 s^{2} = - c$ に実数解があるかどうかが境目です。

接する場合と重なる場合を分ける

共通接線が 1 本だけになるとき、2 つの曲線はその 1 点で接しています。接点も 1 つに重なる。

2 本あるときは、接点が別々の場所にあります。1 本の直線が離れた 2 か所で触れている形。

接点が別々

共通接線は 2 本ありうる。曲線どうしは接していない

接点が同じ

共通接線は 1 本。そこで曲線どうしが接している

問題文が「共通接線」とだけ言っている場合は、どちらも候補です。連立した式の解の個数がそのまま本数になります。

例：3 次関数と直線

$y = x^{3}$ と $y = 3 x - 2$ を考えます。後者は直線なので、自分自身が唯一の接線です。

$y = x^{3}$ の接点を $(t, t^{3})$ とすると、接線は $y = 3 t^{2} x - 2 t^{3}$ 。

傾きから $3 t^{2} = 3$ で $t = \pm 1$ 。切片から $- 2 t^{3} = - 2$ で $t = 1$ です。

両方を満たすのは $t = 1$ だけ。共通接線は $y = 3 x - 2$ そのもので、接点は $(1, 1)$ になります。

直線が相手のときは、その直線自身が共通接線になるかどうかを調べる問題になります。

$y = x^{2}$ と $y = 2 x^{2} - 8$ の共通接線が通る点はどれですか。

$(0, - 16)$
$(0, - 8)$
$(0, 0)$

__RESULT__

共通接線は $y = 8 x - 16$ と $y = - 8 x - 16$ の 2 本です。どちらも $x = 0$ を入れると $y = - 16$ になります。 $- 8$ は $y = 2 x^{2} - 8$ の頂点の高さにあたります。

存在しない場合も確かめます。

$y = x^{2}$ と $y = x^{2} + 3$ の共通接線は何本ありますか。

$0$ 本
$1$ 本
$2$ 本

__RESULT__

傾きをそろえると $2 t = 2 s$ から $t = s$ になり、切片の式が $- t^{2} = - t^{2} + 3$ となって成り立ちません。同じ形の放物線を平行移動しただけなので、接線どうしが平行のままそろいません。

接点を 2 つ用意し、傾きと切片で 2 つの式を立てる。連立が解ければ、その数だけ共通接線があります。

参考文献

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

Nombre dérivé – Fonction dérivée. Maths-Cours.fr.

David Guichard. *2.1: The Slope of a Function*/02:_Instantaneous_Rate_of_Change-_The_Derivative/2.01:_The_Slope_of_a_Function). Calculus, Whitman College.

$y = x^2$ と $y = -x^2 + 4x - 4$ には両方に接する直線が 2 本あります。接点が 2 か所にあるので、文字も $t$ と $s$ の 2 つ要る。それぞれの接線を書き、傾きどうしと切片どうしが等しいという 2 式を連立します。$y = x^2$ と $y = 2x^2 - 8$ では 2 本とも $(0, -16)$ を通り、$y = x^2 + 1$ が相手だと接線が平行のままそろわず 1 本もありません。接点が重なるときは曲線どうしが接している場合、相手が直線の場合まで扱いました。