箱の容積と円錐の体積、3次関数の最大を文章題で使う

1 辺 $12$ の正方形の紙から四隅を切り落として箱を作ると、切る正方形の 1 辺が $2$ のとき容積が最大になります。そのときの容積は $128$ 。

文章題ですが、式を立てると $V = x (12 - 2 x)^{2}$ という 3 次関数です。あとは微分するだけになります^[1]。

難しいのは計算ではなく、式を立てるところと、 $x$ の動ける範囲を書くところです。

箱の容積を式にする

切る正方形の 1 辺を $x$ とします。四隅を切ってふちを立ち上げると、高さが $x$ の箱ができる。

底面は正方形で、1 辺は左右から $x$ ずつ減るので $12 - 2 x$ です。

$V = x (12 - 2 x)^{2}$

$x$ の範囲は $0 < x < 6$ 。 $x$ が $0$ 以下だと切れず、 $6$ 以上だと底面が残りません。

図をかいて長さに文字を当てる

体積を 1 つの文字の式にする

文字の動ける範囲を書く

範囲を書き忘れると、範囲の外にある解を答えにしてしまいます。

微分して最大を出す

展開せずに、積のまま微分することもできますが、数学 II では展開してから微分します。

$V = x (144 - 48 x + 4 x^{2}) = 4 x^{3} - 48 x^{2} + 144 x$

$V^{'} = 12 x^{2} - 96 x + 144 = 12 (x^{2} - 8 x + 12) = 12 (x - 2) (x - 6)$

$V^{'} = 0$ の解は $x = 2$ と $x = 6$ 。範囲に入るのは $x = 2$ だけです。

$0 < x < 2$ で $V^{'} > 0$ 、 $2 < x < 6$ で $V^{'} < 0$ 。 $x = 2$ で極大かつ最大になります。

$V = 2 \times 8^{2} = 128$ です。

切る量を増やすと高さは伸びますが、底面が急に縮みます。 $x = 2$ でつり合いがとれる。

例：長方形の紙から作る

$16$ と $10$ の長方形で同じことをします。底面は $16 - 2 x$ と $10 - 2 x$ の長方形です。

$V = x (16 - 2 x) (10 - 2 x) = 4 x^{3} - 52 x^{2} + 160 x$

$x$ の範囲は $0 < x < 5$ 。短いほうの辺で決まります。

$V^{'} = 12 x^{2} - 104 x + 160 = 4 (3 x^{2} - 26 x + 40) = 4 (3 x - 20) (x - 2)$

解は $x = 2$ と $x = \frac{20}{3}$ 。範囲に入るのは $x = 2$ です。

$V = 2 \times 12 \times 6 = 144$ になります。

紙の大きさ	切る 1 辺	容積
$12 \times 12$	$2$	$128$
$16 \times 10$	$2$	$144$
$18 \times 18$	$3$	$432$

3 つめは $V = x (18 - 2 x)^{2}$ で、 $V^{'} = 12 (x - 3) (x - 9)$ から $x = 3$ 。正方形の紙では 1 辺の $\frac{1}{6}$ が答えになります。

例：球に内接する円錐

半径 $R$ の球に内接する円錐で、体積が最大になるものを求めます。

円錐の高さを $h$ とします。底面の半径 $r$ は、球の中心からの距離を使って出せる。

底面は球の中心から $h - R$ だけ離れた平面にあるので、三平方の定理から次の関係になります。

$r^{2} = R^{2} - (h - R)^{2} = 2 R h - h^{2}$

体積の式に入れます。 $h$ の範囲は $0 < h < 2 R$ です。

$V = \frac{π}{3} r^{2} h = \frac{π}{3} (2 R h^{2} - h^{3})$

微分します。

$V^{'} = \frac{π}{3} (4 R h - 3 h^{2}) = \frac{π}{3} h (4 R - 3 h)$

$V^{'} = 0$ の解は $h = 0$ と $h = \frac{4 R}{3}$ 。範囲に入るのは後者です。

体積を計算します。

$V = \frac{π}{3} (2 R \cdot \frac{16 R ^{2}}{9} - \frac{64 R ^{3}}{27}) = \frac{π}{3} \cdot \frac{32 R ^{3}}{27} = \frac{32 π R ^{3}}{81}$

球の体積 $\frac{4 π R ^{3}}{3}$ と比べると $\frac{8}{27}$ です。 $3$ 割弱しか使えません。

文章題では、文字を 1 つに減らすところが山場になります。

円錐なら $r$ と $h$ の 2 つが出るが、球に内接する条件が 1 本の式をくれる。それで $h$ だけにできる。

例：円錐に内接する円柱

底面の半径 $R$ 、高さ $H$ の円錐に内接する円柱で、体積が最大のものを求めます。

円柱の底面の半径を $r$ とすると、高さは相似から決まります。

$h = H (1 - \frac{r}{R})$

体積は次のとおり。 $0 < r < R$ です。

$V = π r^{2} h = π H (r^{2} - \frac{r ^{3}}{R})$

微分すると $V^{'} = π H (2 r - \frac{3 r ^{2}}{R}) = π H r (2 - \frac{3 r}{R})$ 。

$r = \frac{2 R}{3}$ で最大です。そのとき $h = \frac{H}{3}$ で、体積は $\frac{4 π R ^{2} H}{27}$ 。

円錐の体積 $\frac{π R ^{2} H}{3}$ の $\frac{4}{9}$ になります。

球に内接する円錐

高さは半径の $\frac{4}{3}$ 。体積は球の $\frac{8}{27}$

円錐に内接する円柱

高さは円錐の $\frac{1}{3}$ 。体積は円錐の $\frac{4}{9}$

どちらも比が定数になります。もとの大きさによらず、形の割合だけが決まる。

1 辺 $18$ の正方形の紙から四隅を切って箱を作るとき、容積が最大になる切る 1 辺はどれですか。

$3$
$4.5$
$6$

__RESULT__

$V = x (18 - 2 x)^{2}$ を展開して微分すると $V^{'} = 12 (x - 3) (x - 9)$ 。範囲は $0 < x < 9$ なので $x = 3$ です。 $4.5$ は $18$ の $4$ 分の $1$ 、 $6$ は $3$ 分の $1$ にあたります。

範囲の扱いも確かめます。

$V = x (16 - 2 x) (10 - 2 x)$ で $V^{'} = 0$ の解が $x = 2$ と $x = \frac{20}{3}$ のとき、答えとして採用するのはどちらですか。

$x = 2$
$x = \frac{20}{3}$
両方

__RESULT__

$x$ の範囲は $0 < x < 5$ です。 $\frac{20}{3}$ はおよそ $6.67$ で範囲の外なので、箱が作れません。範囲を書いておかないと、この判定ができません。

図から式を立て、文字を 1 つに減らし、範囲を書く。そこまで進めば、あとは 3 次関数の最大の問題になります。

参考文献

4.7 Applied Optimization Problems. Calculus Volume 1, OpenStax.

4.3 Maxima and Minima. Calculus Volume 1, OpenStax.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

1 辺 12 の正方形の紙から四隅を切って箱を作ると、切る 1 辺が 2 のとき容積 128 で最大になります。$V = x(12-2x)^2$ を展開して微分するだけ。難所は式を立てるところと、$0 < x < 6$ という範囲を書くところです。$16 \times 10$ の紙、球に内接する円錐、円錐に内接する円柱も同じ手順でたどれます。円錐の高さは球の半径の $\dfrac{4}{3}$ で体積は球の $\dfrac{8}{27}$、円柱は円錐の $\dfrac{4}{9}$。もとの大きさによらず比だけが決まります。