1本の直線が2か所で接する〜4次関数の二重接線を係数比較で出す

$y = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 3$ には、2 か所で同時に接する直線があります。 $y = 2 x - 1$ で、接点は $x = - 1$ と $x = 2$ 。

1 本の直線が 1 つの曲線に 2 回触れる。3 次関数では起きませんが、4 次関数では起こります^[1]。

こういう直線を二重接線といいます。求め方は、差が平方になるように係数を合わせるだけです。

差が完全平方になる

曲線から直線を引いた式を考えます。接点が $p$ と $q$ の 2 か所なら、両方で重解になる。

$f (x) - (m x + n) = (x - p)^{2} (x - q)^{2}$

右辺は ${(x - p) (x - q)}^{2}$ と書けます。中身を $x^{2} + ux + v$ とおけば、 $(x^{2} + ux + v)^{2}$ です。

この形に展開します。

$(x^{2} + ux + v)^{2} = x^{4} + 2 u x^{3} + (u^{2} + 2 v) x^{2} + 2 uv x + v^{2}$

もとの式と係数を比べれば、 $u$ 、 $v$ 、 $m$ 、 $n$ が順に決まります。

差が $(x^{2} + ux + v)^{2}$ になると置く

$x^{3}$ と $x^{2}$ の係数から $u$ と $v$ を出す

$x$ と定数の係数から $m$ と $n$ を出す

$x^{3}$ と $x^{2}$ の係数には直線が効きません。だからそこから先に $u$ と $v$ が決まります。

例：係数を順に合わせる

$f (x) = x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 3$ で計算します。

$x^{3}$ の係数から $2 u = - 2$ で $u = - 1$ 。

$x^{2}$ の係数から $u^{2} + 2 v = - 3$ 。 $1 + 2 v = - 3$ で $v = - 2$ です。

$x$ の係数を見ます。左辺は $6 - m$ 、右辺は $2 uv = 2 \times (- 1) \times (- 2) = 4$ 。

$6 - m = 4$ から $m = 2$ です。

定数項は左辺が $3 - n$ 、右辺が $v^{2} = 4$ 。 $3 - n = 4$ から $n = - 1$ 。

二重接線は $y = 2 x - 1$ になります。接点は $x^{2} - x - 2 = (x - 2) (x + 1) = 0$ から $x = 2$ と $x = - 1$ 。

差が平方の形なので、曲線は直線より下へ出ません。接点で $0$ になり、それ以外では正です。

例：左右対称な場合

$f (x) = x^{4} - 4 x^{2}$ で試します。 $x^{3}$ の係数が $0$ なので $u = 0$ 。

$x^{2}$ の係数から $0 + 2 v = - 4$ で $v = - 2$ です。

$x$ の係数は左辺が $- m$ 、右辺が $2 uv = 0$ 。 $m = 0$ になります。

定数項は左辺が $- n$ 、右辺が $v^{2} = 4$ 。 $n = - 4$ です。

二重接線は $y = - 4$ という水平な直線。接点は $x^{2} = 2$ から $x = \pm 2$ です。

これは極小値をとる 2 点にあたります。左右対称な 4 次関数では、2 つの谷を結ぶ水平線が二重接線になる。

関数	二重接線	接点
$x^{4} - 4 x^{2}$	$y = - 4$	$x = \pm 2$
$x^{4} - 2 x^{3} - 3 x^{2} + 6 x + 3$	$y = 2 x - 1$	$x = - 1, 2$
$x^{4} - 4 x^{3} + 2 x^{2} + 4 x$	$y = - 1$	$x = 1 \pm 2$

3 つめは $u = - 2$ 、 $v = - 1$ から出ます。接点が無理数でも、直線の式はきれいなことがあります。

高さがちょうど $- 4$ のときだけ、2 つの谷に同時に触れます。上げれば 4 点で交わり、下げれば交わりません。

3 次関数には二重接線がない

3 次関数から直線を引くと、残るのは 3 次式です。

2 か所で接するには $(x - p)^{2} (x - q)^{2}$ の形が要りますが、これは 4 次式。次数が合いません。

3 次式で作れるのは $(x - p)^{2} (x - q)$ まで。接点が 1 つで、もう 1 つは横切る点になります。

3 次関数

差は 3 次式。重解は 1 つまでで、二重接線がない

4 次関数

差は 4 次式。重解を 2 つ持てるので、二重接線がありうる

次数が接点の数を決めています。だから二重接線は 4 次関数から先の話になります。

二重接線をもたない 4 次関数

$f (x) = x^{4}$ で計算すると $u = 0$ 、 $v = 0$ 、 $m = 0$ 、 $n = 0$ が出ます。

差は $(x^{2})^{2} = x^{4}$ で、 $x = 0$ が 4 重解。接点が 1 か所に重なっています。

2 つの接点が離れているには、 $x^{2} + ux + v = 0$ が異なる 2 実解をもつ必要があります。

$u^{2} - 4 v > 0$

$x^{4} - 4 x^{2}$ なら $0 + 8 = 8 > 0$ で成立。 $x^{4}$ なら $0$ で成立しません。

係数比較はいつでも進みますが、出た結果が 2 接点になるとは限らない。

$u^{2} - 4 v$ の符号を最後に確かめる。 $0$ なら接点が重なり、負なら実数の接点がない。

例：接点から逆に作る

接点を $x = 0$ と $x = 3$ にしたい場合、 $(x^{2} - 3 x)^{2}$ が差になります。

展開すると $x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2}$ です。ここに好きな直線を足せば、その直線が二重接線になります。

$y = x + 2$ を足すと $f (x) = x^{4} - 6 x^{3} + 9 x^{2} + x + 2$ 。この曲線の二重接線が $y = x + 2$ です。

$f (0) = 2$ で直線の値も $2$ 、 $f (3) = 81 - 162 + 81 + 3 + 2 = 5$ で直線も $5$ 。一致します。

$f (x) = x^{4} - 8 x^{2} + 3$ の二重接線はどれですか。

$y = - 13$
$y = - 8$
$y = 3$

__RESULT__

$u = 0$ 、 $0 + 2 v = - 8$ から $v = - 4$ 。 $x$ の係数は $- m = 0$ で $m = 0$ 、定数は $3 - n = v^{2} = 16$ で $n = - 13$ です。接点は $x = \pm 2$ になります。

存在の条件も確かめます。

4 次関数の二重接線が実際に 2 つの接点をもつ条件はどれですか。

$u^{2} - 4 v > 0$
$u^{2} - 4 v = 0$
$v > 0$

__RESULT__

接点は $x^{2} + ux + v = 0$ の解です。異なる 2 実解をもつ条件が判別式が正、つまり $u^{2} - 4 v > 0$ になります。 $0$ なら接点が 1 点に重なります。

差を平方の形に置いて係数を比べる。展開した式を 1 行書けば、あとは順番に係数が決まっていきます。

参考文献

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

David Guichard. *2.1: The Slope of a Function*/02:_Instantaneous_Rate_of_Change-_The_Derivative/2.01:_The_Slope_of_a_Function). Calculus, Whitman College.

$x^4 - 2x^3 - 3x^2 + 6x + 3$ には $y = 2x - 1$ という、2 か所で同時に接する直線があります。曲線から直線を引いた差が両方の接点で重解になるので、$(x^2 + ux + v)^2$ の形になる。展開して係数を比べれば $u$、$v$、$m$、$n$ が順に決まります。$x^3$ と $x^2$ の係数には直線が効かないので、そこから先に $u$ と $v$ が出る。3 次関数では次数が足りず二重接線がありません。接点が離れる条件 $u^2 - 4v > 0$ の確認まで扱いました。