文字だけを右辺へ寄せる - 定数分離とグラフの交点で数える

$x^3-3x+k=0$ の $k$ を右辺へ移すと $x^3-3x=-k$ になります。

左辺は $k$ を含まない曲線、右辺は高さ $-k$ の水平な直線。実数解の個数は、この 2 本が何か所で出会うかと同じです。

文字を片側にまとめてしまうやり方を定数分離といいます。曲線が動かなくなるぶん、数えるのが楽になります^[1]。

分離すると何が変わるか

分離しないままだと、$k$ が変わるたびにグラフ全体が上下に動きます。毎回描き直すことになる。

分離すれば動くのは水平線だけです。曲線は 1 回描けば済みます。

水平線が山より上か、山と谷のあいだか、谷より下か。この 3 通りで交点の数が決まります。

緑の点が交点です。赤い線が点線のあいだにあるうちは 3 個、外へ出ると 1 個になります。

例：$x^3-3x+k=0$

$x^3-3x=-k$ と分離します。$y=x^3-3x$ の極大値は $2$、極小値は $-2$ です。

水平線 $y=-k$ が $-2$ と $2$ のあいだにあれば交点は 3 個。

$$-2<-k<2$$

各辺に $-1$ を掛けると不等号の向きが変わり、$-2<k<2$ です。

$-k$ のまま扱うので、最後に符号を戻す手順が入ります。ここを飛ばすと範囲が逆になる。

例：定数項だけが動く形

$2x^3-3x^2-12x+a=0$ を分離します。$2x^3-3x^2-12x=-a$ です。

$f(x)=2x^3-3x^2-12x$ の導関数は $6x^2-6x-12=6(x+1)(x-2)$。

極大値は $f(-1)=-2-3+12=7$、極小値は $f(2)=16-12-24=-20$ になります。

$-20<-a<7$ から $-7<a<20$。交点が 3 個、つまり実数解が 3 個です。

例：文字が係数にある形

$x^3=kx$ を考えます。$k$ が $x$ の係数にあるので、そのままでは水平線になりません。

両辺を $x$ で割りたくなりますが、$x=0$ で割れません。まず $x=0$ が解かどうかを別に確かめます。

$x=0$ を入れると $0=0$ で成り立つので、$x=0$ はつねに解です。

$x\ne 0$ のときだけ割ると $x^2=k$ になります。$y=x^2$ と $y=k$ の交点を数えればよい。

$k>0$ なら $x=\pm \sqrt{k}$ の 2 個。$x=0$ と合わせて実数解は 3 個です。

$k=0$ なら $x^2=0$ から $x=0$ で、もとの解と重なります。実数解は 1 個。

$k<0$ なら $x^2=k$ に実数解はなく、$x=0$ だけの 1 個になります。

割る前に $x=0$ を確かめる。この一手を飛ばすと、解を 1 つ落とします。

極値の積との使い分け

同じ問題を、極大値と極小値の積で解くこともできます。どちらを選ぶかは形しだいです^[2]。

定数が単独で足されているだけなら、分離するほうが速い。曲線が固定されて、あとは高さを比べるだけになります。

文字が $x^2$ や $x$ の係数に入っていると、分離しても水平線になりません。その場合は極値を計算する道を選びます。

例：範囲を絞る問題

$x^3-6x^2+9x=k$ が異なる 3 つの実数解をもつ $k$ の範囲を求めます。

$f(x)=x^3-6x^2+9x$ の導関数は $3x^2-12x+9=3(x-1)(x-3)$ です。

極大値は $f(1)=1-6+9=4$、極小値は $f(3)=27-54+27=0$。

水平線 $y=k$ が $0$ と $4$ のあいだにあればよいので、$0<k<4$ です。

$k=0$ のときは $x^3-6x^2+9x=x(x-3{)}^2=0$ で、$x=0$ と $x=3$ の 2 個。境目で重解が出ています。

例：正の解の個数を数える

$x^3-3x=k$ が正の解を 2 個もつ $k$ の範囲を出します。

$x>0$ の部分だけを見ます。$f(0)=0$、極小値は $f(1)=-2$、そこから増え続けます。

水平線が $-2$ と $0$ のあいだにあると、$x>0$ の範囲で 2 か所と出会う。

$$-2<k<0$$

$k=-2$ なら接するので 1 個、$k\ge 0$ なら $x>0$ での交点は 1 個です。

範囲を指定されたら、その範囲だけのグラフを見ます。全体の交点の数とは別に数える。

割る前の確認も確かめます。

文字を片側へ寄せて、動くものと動かないものを分ける。曲線が固定されれば、あとは高さの比較だけで済みます。

出典