差をとって最小値を調べる〜微分による不等式の証明

$x > 0$ のとき $x^{3} + 4 \geq 3 x^{2}$ が成り立ちます。示すには、左辺から右辺を引いた関数の最小値を見ます。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ とおくと、 $x > 0$ での最小値が $0$ 。だから $f (x) \geq 0$ で、もとの不等式が出ます^[1]。

2 つの式を直接くらべるのではなく、差を 1 つの関数にして底を調べる。これが微分を使う証明の形です。

差を関数にする

$A \geq B$ を示すことと、 $A - B \geq 0$ を示すことは同じです。

差を $f (x)$ と名づければ、あとは 1 つの関数の最小値を求める問題になります。最大最小はすでに微分で扱える。

差の関数 $f (x) = A - B$ を作る

微分して増減を調べる

指定された範囲での最小値が $0$ 以上だと言う

最小値が $0$ より大きければ、等号のない不等式になります。 $0$ ちょうどなら等号つきです。

例： $x > 0$ で $x^{3} + 4 \geq 3 x^{2}$

差は $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 4$ です。導関数を出します。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$

$x > 0$ の範囲で $f^{'} (x) = 0$ になるのは $x = 2$ だけ。 $0 < x < 2$ で負、 $2 < x$ で正です。

$x f^{'} (x) f (x) (0) (4) \dots - ↘ 200 \dots + ↗$

$x = 2$ で最小になり、 $f (2) = 8 - 12 + 4 = 0$ です。

$x > 0$ では $f (x) \geq 0$ なので、 $x^{3} + 4 \geq 3 x^{2}$ が成り立ちます。等号は $x = 2$ のときだけ。

赤い縦線が 2 つのグラフの差です。 $x = 2$ で長さが $0$ になり、そこ以外では正のままになります。

因数分解で確かめる

答えが出たら、差の関数を因数分解して確かめます。

$x^{3} - 3 x^{2} + 4$ は $x = - 1$ で $0$ になるので $x + 1$ を因数にもちます。割ると次の形。

$x^{3} - 3 x^{2} + 4 = (x + 1) (x - 2)^{2}$

$x > 0$ では $x + 1 > 0$ 、 $(x - 2)^{2} \geq 0$ なので積は $0$ 以上です。増減表と同じ結論になりました。

$(x - 2)^{2}$ が平方になっているのは、 $x = 2$ で $x$ 軸に触れて戻るためです。等号がそこだけで成り立つことと対応します。

範囲の指定が要る理由

$x > 0$ という条件を外すと、この不等式は崩れます。

$(x + 1) (x - 2)^{2}$ で $x < - 1$ をとると、 $x + 1$ が負になるので全体も負。たとえば $x = - 2$ なら $f (- 2) = - 1 \times 16 = - 16$ です。

実際に $x = - 2$ を入れると左辺は $- 8 + 4 = - 4$ 、右辺は $12$ 。左辺のほうが小さくなっています。

不等式の証明では、与えられた範囲を最後まで持ち歩く。

最小値を求めるときも、範囲の外にある極値は候補から外す。範囲が変われば結論も変わる。

例： $x \geq 0$ で $x^{3} + 2 \geq 3 x$

差は $f (x) = x^{3} - 3 x + 2$ です。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ 。

$x \geq 0$ の範囲で $0$ になるのは $x = 1$ だけ。 $0 \leq x < 1$ で負、 $1 < x$ で正です。

最小値は $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ 。したがって $f (x) \geq 0$ で、不等式が成り立ちます。

因数分解すると $(x - 1)^{2} (x + 2)$ 。 $x \geq 0$ なら $x + 2 > 0$ なので、やはり $0$ 以上です。

例： $x \geq 0$ で $2 x^{3} + 1 \geq 3 x^{2}$

差は $f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} + 1$ で、 $f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x = 6 x (x - 1)$ です。

$x \geq 0$ では $x = 1$ が極小で、 $f (1) = 2 - 3 + 1 = 0$ 。左端の $f (0) = 1$ より小さい。

最小値が $0$ なので成り立ちます。因数分解は $(x - 1)^{2} (2 x + 1)$ です。

不等式	差の関数	等号
$x^{3} + 4 \geq 3 x^{2}$	$(x + 1) (x - 2)^{2}$	$x = 2$
$x^{3} + 2 \geq 3 x$	$(x - 1)^{2} (x + 2)$	$x = 1$
$2 x^{3} + 1 \geq 3 x^{2}$	$(x - 1)^{2} (2 x + 1)$	$x = 1$

どれも平方の因数が出ています。等号が成り立つ不等式では、差が $x$ 軸に触れる形になるためです。

例：区間が指定される場合

$- 1 \leq x \leq 2$ のとき $x^{3} \leq 3 x + 2$ を示します。

向きが逆なので、差を $f (x) = 3 x + 2 - x^{3}$ とおいて $0$ 以上を示します。

$f^{'} (x) = 3 - 3 x^{2} = 3 (1 + x) (1 - x)$ なので、区間の中の $x = 1$ が極大です。

最小値は端で起きます。 $f (- 1) = - 3 + 2 + 1 = 0$ 、 $f (2) = 6 + 2 - 8 = 0$ 。どちらも $0$ です。

区間の中では $f (x) \geq 0$ なので、不等式が成り立ちます。等号は $x = - 1$ と $x = 2$ の 2 か所。

因数分解すると $f (x) = (x + 1)^{2} (2 - x)$ 。区間の中で $2 - x \geq 0$ なので、確かに $0$ 以上です。

範囲の中に最小がある場合

極小値を計算して符号を見る。等号は 1 か所になることが多い

端で最小になる場合

両端の値を計算して比べる。等号が 2 か所になることもある

$x > 0$ で $x^{3} + 16 \geq 12 x$ を示すとき、等号が成り立つのはどの $x$ ですか。

$x = 2$
$x = 4$
$x = 1$

__RESULT__

差は $f (x) = x^{3} - 12 x + 16$ で、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x + 2) (x - 2)$ 。 $x > 0$ では $x = 2$ が極小で、 $f (2) = 8 - 24 + 16 = 0$ です。因数分解すると $(x - 2)^{2} (x + 4)$ になります。

範囲の扱いも確かめます。

$x^{3} + 4 \geq 3 x^{2}$ が成り立たない $x$ はどれですか。

$x = 3$
$x = 0$
$x = - 2$

__RESULT__

差の関数は $(x + 1) (x - 2)^{2}$ です。 $x = - 2$ では $x + 1 = - 1$ が負なので、全体が $- 16$ になります。左辺は $- 4$ 、右辺は $12$ で、確かに不等号が逆向きです。

引いて 1 つの関数にする。あとは最大最小の問題と同じ手順で、最小値が $0$ 以上かどうかを見るだけになります。

参考文献

4.3 Maxima and Minima. Calculus Volume 1, OpenStax.

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

$x > 0$ で $x^3 + 4 \geq 3x^2$ を示すには、差の $x^3 - 3x^2 + 4$ を 1 つの関数と見て最小値を調べます。$x = 2$ で $0$ になり、そこ以外では正。$A \geq B$ の証明が、$A - B$ の最大最小の問題に変わります。答えが出たら因数分解して裏をとる。$(x+1)(x-2)^2$ のように平方の因数が出るのは、等号が成り立つ不等式だからです。範囲を外すと $x = -2$ で崩れること、区間が指定されて等号が両端の 2 か所になる場合まで扱いました。