2つの曲線が接するとはどういうことか？接点で傾きもそろう

$y = x^{2}$ と $y = 2 x + a$ が接するのは $a = - 1$ のときで、接点は $(1, 1)$ です。

接するとは、共有点をもつだけではありません。その点で 2 本の傾きまで一致していることを指します^[1]。

条件は 2 つの式で書けます。接点の $x$ 座標を $t$ とすると、値が等しいことと、導関数の値が等しいこと。

$f (t) = g (t), f^{'} (t) = g^{'} (t)$

交わるのと接するのはどう違うか

2 つの曲線が交わるだけなら、共有点で傾きは別々です。片方がもう片方を横切っていく。

接している場合は、共有点で 2 本が同じ向きを向いています。触れるだけで通り抜けない。

交わる

共有点で傾きが違う。曲線どうしが交差して反対側へ抜ける

接する

共有点で傾きも一致する。触れるだけで、そこから離れていく

だから条件が 2 本立ちます。1 本目は共有点があること、2 本目は傾きがそろうことです。

2 つの交点が近づいて 1 点に重なるところが、接している瞬間です。そこから先は共有点がなくなります。

例：放物線と直線

$y = x^{2}$ と $y = 2 x + a$ が接する $a$ を求めます。接点を $x = t$ とおきます。

傾きの条件は $2 t = 2$ なので $t = 1$ 。値の条件は $t^{2} = 2 t + a$ です。

$t = 1$ を入れると $1 = 2 + a$ から $a = - 1$ 。接点は $(1, 1)$ になります。

判別式で解いた場合と比べる

同じ問題は、連立方程式の重解条件でも解けます。

$x^{2} = 2 x + a$ を整理すると $x^{2} - 2 x - a = 0$ 。判別式が $0$ になればよい。

$D = 4 + 4 a = 0$

$a = - 1$ で、同じ答えです。重解は $x = 1$ なので接点も一致します。

判別式が使えるのは、連立した式が 2 次方程式になるときだけ。

3 次以上になると判別式の形が複雑になる。傾きをそろえる条件のほうは次数によらず使える。

例：3 次関数と直線

$y = x^{3}$ と $y = 3 x + a$ が接する $a$ を求めます。

傾きの条件は $3 t^{2} = 3$ なので $t = \pm 1$ 。接点の候補が 2 つ出ました。

$t = 1$ のとき、値の条件は $1 = 3 + a$ で $a = - 2$ 。接点は $(1, 1)$ です。

$t = - 1$ のとき $- 1 = - 3 + a$ で $a = 2$ 。接点は $(- 1, - 1)$ になります。

$a$ の値が 2 つ出るのは、3 次曲線が上下に 1 か所ずつ、直線と同じ傾きになる場所をもつためです。

$t$	$a$	接点
$1$	$- 2$	$(1, 1)$
$- 1$	$2$	$(- 1, - 1)$

$a = - 2$ のときの連立は $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2) = 0$ 。 $x = 1$ が重解で、 $x = - 2$ でも交わっています。

接していても、別の場所で交わることはあります。触れる点と横切る点の両方をもつ形です。

例：2 つの放物線

$y = x^{2} + a$ と $y = - x^{2} + 4 x$ が接する $a$ を求めます。

傾きの条件は $2 t = - 2 t + 4$ で $t = 1$ 。

値の条件は $t^{2} + a = - t^{2} + 4 t$ です。 $t = 1$ を入れると $1 + a = 3$ で $a = 2$ 。

接点は $(1, 3)$ になります。 $y = x^{2} + 2$ と $y = - x^{2} + 4 x$ が、そこで触れている。

接点では 2 つの曲線に共通の接線が 1 本引けます。接するということは、同じ接線を分け合うことです。

例：3 次関数と放物線

$y = x^{3}$ と $y = 3 x^{2} + a$ が接する $a$ を求めます。

傾きの条件は $3 t^{2} = 6 t$ 、つまり $3 t (t - 2) = 0$ で $t = 0$ または $t = 2$ 。

$t = 0$ のとき、値の条件は $0 = 0 + a$ で $a = 0$ 。接点は原点です。

$t = 2$ のとき $8 = 12 + a$ で $a = - 4$ 。接点は $(2, 8)$ になります。

接点の $x$ 座標を $t$ とおく

傾きの条件から $t$ を絞る

値の条件に代入して残りの文字を決める

傾きの条件を先に使うと、 $t$ の候補が少数に絞れます。そのあとで値の条件を当てるほうが計算が軽い。

例：2 か所で接する

接点が 1 つとは限りません。 $y = x^{4}$ と $y = 2 x^{2} - 1$ で確かめます。

傾きの条件は $4 t^{3} = 4 t$ 、つまり $4 t (t^{2} - 1) = 0$ で $t = 0, \pm 1$ 。

値の条件は $t^{4} = 2 t^{2} - 1$ です。移項すると $t^{4} - 2 t^{2} + 1 = (t^{2} - 1)^{2} = 0$ で $t = \pm 1$ 。

両方を満たすのは $t = 1$ と $t = - 1$ 。 $t = 0$ は傾きだけそろい、値がそろいません。

2 か所で接しています。 $(1, 1)$ と $(- 1, 1)$ で、それぞれ接線は $y = 4 x - 3$ と $y = - 4 x - 3$ です。

接点の近くを拡大する

接している 2 本を、接点のまわりで強く拡大すると、どちらも同じ直線に見えてきます。

値がそろっているので出発点が同じ、傾きもそろっているので向きも同じ。狭い範囲では見分けがつかなくなります。

拡大するほど 2 本と点線の区別がつかなくなります。3 本とも同じ向き、同じ位置から出ているためです。

例：接する条件から係数を 2 つ決める

$y = x^{2} + a x + b$ が $y = 2 x$ と $x = 1$ で接するとします。 $a$ と $b$ を求めます。

接点の $x$ が $1$ と分かっているので、条件をそのまま当てはめます。

傾きは $2 t + a = 2$ で、 $t = 1$ から $2 + a = 2$ 、つまり $a = 0$ 。

値は $t^{2} + a t + b = 2 t$ で、 $1 + 0 + b = 2$ から $b = 1$ です。

$y = x^{2} + 1$ が $y = 2 x$ と $(1, 2)$ で接しています。連立すると $x^{2} - 2 x + 1 = (x - 1)^{2} = 0$ で、確かに重解。

$y = x^{2} - 4 x$ と $y = - 2 x + a$ が接するときの $a$ はどれですか。

$- 1$
$1$
$- 4$

__RESULT__

傾きの条件は $2 t - 4 = - 2$ から $t = 1$ 。値の条件は $t^{2} - 4 t = - 2 t + a$ で、 $1 - 4 = - 2 + a$ から $a = - 1$ です。判別式でも $x^{2} - 2 x - a = 0$ の $D = 4 + 4 a = 0$ で同じ答えになります。

3 次の場合も確かめます。

$y = x^{3} - 3 x$ と $y = a$ が接するときの $a$ をすべて挙げるとどれですか。

$a = 2$ と $a = - 2$
$a = 0$ のみ
$a = 2$ のみ

__RESULT__

$y = a$ は水平な直線なので、傾きの条件は $3 t^{2} - 3 = 0$ から $t = \pm 1$ 。値の条件は $t^{3} - 3 t = a$ で、 $t = - 1$ なら $a = 2$ 、 $t = 1$ なら $a = - 2$ です。極大値と極小値の高さにあたります。

値がそろい、傾きもそろう。この 2 本の式を書ければ、相手が何次式でも同じ手順で解けます。

出典

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

Nombre dérivé – Fonction dérivée. Maths-Cours.fr.

$y = x^2$ と $y = 2x + a$ が接するのは $a = -1$ のとき。共有点をもつだけでは接したことになりません。その点で導関数の値まで一致している必要があります。条件は $f(t) = g(t)$ と $f'(t) = g'(t)$ の 2 本。判別式が使えるのは連立が 2 次方程式になるときだけですが、傾きをそろえる条件は次数によりません。$y = x^3$ と直線では $a$ が 2 つ出て、接していても別の場所で交わる。3 次と放物線、接する条件から係数を 2 つ決める形まで並べました。