区間が幅を変えずに動く最大最小（3次関数と場合分け）

$f(x)=x^3-3x$ を $t\le x\le t+3$ で考えます。幅は $3$ のまま、位置だけが $t$ で動く。

最大値は $t$ の値によって $2$ になったり $f(t+3)$ になったりします。最小値も同じように切りかわる。

関数は動かず、窓のほうが動く型です。前の型とは分かれ目の作り方が違います^[1]。

動く窓から何が見えるか

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$ なので、$x=-1$ で極大値 $2$、$x=1$ で極小値 $-2$ です。

窓の幅は $3$。極大と極小の間隔は $2$ なので、窓が両方を同時に含むこともあります。

最大値の候補は 3 つ。極大値 $2$、左端 $f(t)$、右端 $f(t+3)$ です。

両端のどちらが高いか

窓に極大が入らないとき、左端と右端を比べます。差を計算します。

$$\begin{array}{rl}f(t+3)-f(t)& =(t+3{)}^3-3(t+3)-(t^3-3t)\\ & =9t^2+27t+18\\ & =9(t+1)(t+2)\end{array}$$

$t\le -2$ または $t\ge -1$ のとき、この値は $0$ 以上。右端のほうが高いか同じです。

$-2<t<-1$ のときだけ左端が高くなります。ただしこの範囲は極大が窓に入るので、比べる必要がありません。

赤い点は窓の右端にいたり、山の頂上に留まったりします。留まっているあいだ、最大値は $2$ で一定です。

最大値を $t$ で書く

極大の $x=-1$ が窓に入る条件は $t\le -1\le t+3$、つまり $-4\le t\le -1$ です。

この範囲では最大値が $2$ に固定されます。両端の値はどちらも $2$ 以下だからです。

範囲の外では右端が最大になります。$t\le -4$ なら窓全体が増加の区間にあり、$t\ge -1$ なら差の式から右端が高い。

まとめると、$-4\le t\le -1$ では $M(t)=2$、それ以外では $M(t)=f(t+3)$ です。

外側の 2 つは同じ式になりました。$-4$ と $-1$ の外では、いつでも右端が最大です。

最小値を $t$ で書く

極小の $x=1$ が窓に入るのは $t\le 1\le t+3$、つまり $-2\le t\le 1$。

この範囲では最小値が $-2$ です。範囲の外では左端が最小になります。

$-2\le t\le 1$ では $m(t)=-2$、それ以外では $m(t)=f(t)$ になります。

最大と最小で切りかわる位置が違うので、合わせると 5 つの区間に分かれます。

境目で値がつながる

$t=-4$ を両側から見ます。左からは $f(-1)=-1+3=2$、右からは $2$。一致します。

$t=-1$ では左からは $2$、右からは $f(2)=8-6=2$。ここも一致。

$t=-2$ では $f(-2)=-8+6=-2$ で、極小値と同じ値です。$t=1$ では $f(1)=-2$。

すべての境目で式がつながっています。飛びがあれば計算違いです。

$t$ の関数として描くと、平らな部分と曲がった部分がつながった形になります。飛びはありません。

窓の幅を変えるとどうなるか

幅を $1$ にすると、極大と極小の間隔 $2$ より狭くなります。窓が両方を同時に含むことはありません。

両端の差は $f(t+1)-f(t)=3t^2+3t-2$ です。$0$ になる $t$ は $\frac{-3\pm \sqrt{33}}{6}$ で、根号が出ます。

幅を $3$ に選んだのは、差が $9(t+1)(t+2)$ ときれいに因数分解できるためです。

問題では幅がきりのよい値に選ばれています。両端の差を因数分解できるかどうかを、最初に試します。

両端の比較も確かめます。

窓が動く型では、極値が窓に入る $t$ の範囲を先に書きます。入っているあいだは値が動かないので、そこが答えの平らな部分になります。

参考