極値の x が無理数のとき、導関数で割った余りに代入する

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 1$ の極値は $- 4 + 42$ と $- 4 - 42$ です。

極値をとる $x$ は $1 \pm 2$ 。これを $3$ 乗して代入するのは骨が折れます。

$f$ を $f^{'}$ で割った余りに代入すれば、計算は 1 次式への代入だけで終わります^[1]。

余りに代入してよい理由

$f (x)$ を $f^{'} (x)$ で割ると、 $f^{'}$ が 2 次式なので余りは 1 次以下です。

$f (x) = f^{'} (x) Q (x) + R (x)$

極値をとる $x = α$ では $f^{'} (α) = 0$ 。第 1 項が丸ごと消えます。

$f (α) = R (α)$

$3$ 次式への代入が、 $1$ 次式への代入に変わりました。次数が下がるので次数下げと呼びます。

$f$ を $f^{'}$ で割って余りを出す

$f^{'} (α) = 0$ を使って第 1 項を落とす

余りに $α$ を代入する

例： $x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 1$

導関数は $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x - 3 = 3 (x^{2} - 2 x - 1)$ です。

$f^{'} (x) = 0$ の解は $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ から $x = 1 \pm 2$ 。無理数になりました。

$f (x)$ を $x^{2} - 2 x - 1$ で割ります。商は $x - 1$ です。

$(x^{2} - 2 x - 1) (x - 1) f (x) - (x^{3} - 3 x^{2} + x + 1) = x^{3} - 3 x^{2} + x + 1 = - 4 x$

余りは $- 4 x$ 。したがって $f (α) = - 4 α$ です。

$α = 1 - 2$ なら $- 4 + 42$ 、 $α = 1 + 2$ なら $- 4 - 42$ 。

$x^{3}$ の係数が正なので、小さいほうの $x$ で極大、大きいほうで極小です。

例： $x^{3} - 6 x + 4$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 = 3 (x^{2} - 2)$ なので、極値をとるのは $x = \pm 2$ です。

$f (x)$ を $x^{2} - 2$ で割ります。商は $x$ 。

$x^{3} - 6 x + 4 = (x^{2} - 2) x + (- 4 x + 4)$

余りは $- 4 x + 4$ です。 $f (α) = - 4 α + 4$ 。

$α = - 2$ で極大値 $4 + 42$ 、 $α = 2$ で極小値 $4 - 42$ になります。

関数	割った余り	極値
$x^{3} - 3 x^{2} - 3 x + 1$	$- 4 x$	$- 4 \pm 42$
$x^{3} - 6 x + 4$	$- 4 x + 4$	$4 \mp 42$
$x^{3} - 3 x^{2} - 6 x + 2$	$- 6 x$	$- 6 \mp 63$

3 つめは $f^{'} = 3 (x^{2} - 2 x - 2)$ で、極値をとるのは $x = 1 \pm 3$ です。

対称性の結果と合っているか

余りが $R (x) = p x + q$ のとき、極値の和は $R (α) + R (β) = p (α + β) + 2 q$ です。

$x^{3} - 6 x + 4$ では $p = - 4$ 、 $q = 4$ 、 $α + β = 0$ 。和は $8$ になります。

一方、対称の中心は $m = 0$ で $f (0) = 4$ 。和は $2 f (0) = 8$ です。一致しました。

差のほうも見ます。 $R (β) - R (α) = p (β - α) = - 4 \times 22 = - 82$ 。

極大から極小を引く向きにすると $82$ です。係数から出す式でも同じ値になります。

余りが 1 次式なので、極値の和と差が $α + β$ と $β - α$ だけで書ける。

解と係数の関係がそのまま使える形。無理数を最後まで持ち歩かずに済む。

赤い直線は曲線と離れていますが、極値の 2 か所だけ高さが一致します。だから代入の相手を入れかえてよい。

例：文字を含む場合

$f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} + 3 x$ の極値を、 $a$ を残したまま出します。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 6 a x + 3 = 3 (x^{2} + 2 a x + 1)$ です。極値をもつ条件は $a^{2} > 1$ 。

$f (x)$ を $x^{2} + 2 a x + 1$ で割ります。商は $x + a$ です。

$(x^{2} + 2 a x + 1) (x + a) f (x) - これ = x^{3} + 3 a x^{2} + (2 a^{2} + 1) x + a = - 2 a^{2} x - a$

余りは $(2 - 2 a^{2}) x - a$ 。極値は $(2 - 2 a^{2}) α - a$ の形になります。

$α + β = - 2 a$ なので、和は $(2 - 2 a^{2}) (- 2 a) - 2 a = 4 a^{3} - 6 a$ です。

対称の中心は $m = - a$ で、 $f (- a) = - a^{3} + 3 a^{3} - 3 a = 2 a^{3} - 3 a$ 。その $2$ 倍と一致します。

割り算をどこまでやるか

商は使いません。必要なのは余りだけです。

$f$ が 3 次、 $f^{'}$ が 2 次なので、商は必ず 1 次。 $f^{'}$ の最高次の係数が $3 a$ なので、商の係数に分数が出ることもあります。

分数を避けたいときは、 $f^{'}$ を $3$ で割った 2 次式で割ります。 $f^{'} (α) = 0$ と $\frac{f ^{'} ( α )}{3} = 0$ は同じ条件なので、結果は変わりません。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 2$ の極値を次数下げで求めるとき、 $f (x)$ を $x^{2} - 2 x - 3$ で割った余りはどれですか。

$- 8 x - 1$
$- 8 x + 1$
$- 12 x - 1$

__RESULT__

商は $x - 1$ です。 $(x^{2} - 2 x - 3) (x - 1) = x^{3} - 3 x^{2} - x + 3$ なので、引くと $- 8 x - 1$ になります。極値は $- 8 α - 1$ で、 $α = - 1$ なら $7$ 、 $α = 3$ なら $- 25$ です。

うまくいく理由も確かめます。

次数下げで余りに代入してよいのはなぜですか。

極値をとる $x$ で $f^{'} (x)$ が $0$ になるため
余りともとの式が同じ関数だから
商がいつも $1$ になるため

__RESULT__

$f (x) = f^{'} (x) Q (x) + R (x)$ の第 1 項が、 $f^{'} (α) = 0$ によって消えます。余りともとの式は別の関数で、値が一致するのは極値をとる点だけです。

3 次式への代入を 1 次式への代入に落とす。 $f^{'} (α) = 0$ という 1 行が、そのための道具になります。

参考文献

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Extremum. Encyclopedia of Mathematics.

3.3 Differentiation Rules. Calculus Volume 1, OpenStax.

$x^3 - 3x^2 - 3x + 1$ の極値をとる $x$ は $1 \pm \sqrt{2}$。3 乗して代入すると計算が重くなります。$f(x) = f'(x)Q(x) + R(x)$ と割っておけば、$f'(\alpha) = 0$ で第 1 項が消えて $f(\alpha) = R(\alpha)$。余りは 1 次式なので代入が一瞬で終わります。この例では $-4x$ が余りで、極値は $-4 \pm 4\sqrt{2}$。余りが 1 次だと極値の和と差も解と係数の関係で書けて、対称の中心から出した値と一致します。文字係数の場合まで扱いました。