文字を含む3次関数の最大最小は極値が区間に入るかで分かれる

$f(x)=x^3-3a^{2}x$ を $0\le x\le 3$ で考えます。$a>0$ とすると、答えは 3 通りに分かれます。

分かれ目は 2 つ。極小をとる点が区間に入るかどうかと、右端の高さが左端を超えるかどうかです。

区間は固定されていますが、関数のほうが $a$ で動く。だから場合分けが要ります^[1]。

極値の位置を先に押さえる

導関数を因数分解します。

$$f^{\prime }(x)=3x^2-3a^2=3(x-a)(x+a)$$

$f^{\prime }(x)=0$ の解は $x=\pm a$。$a>0$ なので $x=-a$ は区間の外です。

$x=a$ が極小をとる点になります。これが $0\le x\le 3$ に入るのは $a<3$ のとき。

極小が区間に入る場合

$0<a<3$ のとき、$f$ は $x=a$ まで下がり、そこから $x=3$ まで上がります。

最小値は $f(a)=a^3-3a^3=-2a^3$ です。

最大値の候補は両端の $f(0)=0$ と $f(3)=27-9a^2$。どちらが大きいかは $a$ しだいです。

$27-9a^2>0$ を解くと $a^2<3$、つまり $a<\sqrt{3}$。

$a$ が小さいうちは右端がいちばん高く、大きくなると左端に移ります。谷は深くなる一方です。

極小が区間から出る場合

$a\ge 3$ のとき、$x=a$ は区間の右外にあります。

区間の中では $x<a$ なので $f^{\prime }(x)=3(x-a)(x+a)<0$。ずっと減っています。

最大値は左端の $f(0)=0$、最小値は右端の $f(3)=27-9a^2$ です。

3 つに分けて書く

境目は $a=\sqrt{3}$ と $a=3$ の 2 つ。まとめると次のようになります。

境目では 2 つの式が同じ値になります。$a=\sqrt{3}$ で $27-27=0$、$a=3$ で $-2\times 27=27-81=-54$。

つながっているので、等号をどちらに付けても答えは変わりません。

例：文字が $x$ の係数にある

$f(x)=x^3-3ax$ を $0\le x\le 2$ で考えます。$a>0$ です。

$f^{\prime }(x)=3(x^2-a)$ なので、極小をとるのは $x=\sqrt{a}$。

区間に入る条件は $\sqrt{a}<2$、つまり $a<4$ です。

$0<a<4$ なら最小値は $f(\sqrt{a})=a\sqrt{a}-3a\sqrt{a}=-2a\sqrt{a}$。

$a\ge 4$ なら区間で減り続けるので、最小値は $f(2)=8-6a$ です。

最大値の候補は $f(0)=0$ と $f(2)=8-6a$。$8-6a>0$ は $a<\frac{4}{3}$。

平方根が出ると境目も平方根で書かれます。$x=\sqrt{a}$ のように、極値の位置が根号を含むためです。

例：最高次の係数に文字がある

$f(x)=a{x}^3-3ax$ を $-2\le x\le 2$ で考えます。$a\ne 0$ です。

$f^{\prime }(x)=3a(x^2-1)=3a(x+1)(x-1)$ なので、$x=\pm 1$ が候補になります。

$a>0$ のとき、$x=-1$ で極大、$x=1$ で極小。値は $f(-1)=2a$、$f(1)=-2a$ です。

端は $f(-2)=-8a+6a=-2a$、$f(2)=2a$。最大は $2a$、最小は $-2a$ になります。

$a<0$ なら山と谷が入れかわりますが、値の集合は同じ。最大は $-2a$、最小は $2a$ です。

係数の符号で上下が反転します。絶対値をとれば $2|a|$ と $-2|a|$ にまとめられる。

境目の確かめ方も見ます。

区間は動かず、関数だけが動く。極値の位置を $a$ の式で書いて、それが区間のどこにあるかを見るところから始めます。

参考文献