2h や 3h が混じった極限を定義の形へ戻す｜微分係数

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+2h)-f(a-3h)}{h}$ の値は $5f^{\prime }(a)$ です。

分子に $f(a)$ がないので、そのままでは定義の形になりません。足して引くことで形をそろえます^[1]。

$2$ と $3$ を足した $5$ が前に出る。この理由が分かれば、どんな組み合わせでも処理できます。

$f(a)$ をはさむ

分子に $-f(a)+f(a)$ を入れます。値は変わりません。

$$f(a+2h)-f(a)+f(a)-f(a-3h)$$

前半と後半に分けて、それぞれ $h$ で割ります。

$$\begin{array}{rl}\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}& =2\cdot \frac{f(a+2h)-f(a)}{2h}\\ \frac{f(a)-f(a-3h)}{h}& =3\cdot \frac{f(a-3h)-f(a)}{-3h}\end{array}$$

どちらも分母と分子の増分がそろい、定義の形になりました。

$h\to 0$ のとき $2h\to 0$、$-3h\to 0$ なので、両方とも $f^{\prime }(a)$ に近づきます。

$$2f^{\prime }(a)+3f^{\prime }(a)=5f^{\prime }(a)$$

なぜ足し算になるのか

$a$ から右へ $2h$、左へ $3h$ 離れた 2 点の高さの差を見ています。

$a$ を境に、右側の変化と左側の変化を合わせているので、幅の合計は $5h$。だから $5$ 倍になります。

引き算の形なのに足されるのは、$-3h$ の向きが逆だからです。

例：いくつかの型

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+2h)-f(a)}{h}$ は、$2$ を掛けて割る形にすれば $2f^{\prime }(a)$ です。

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+3h)-f(a+h)}{h}$ では、$f(a)$ をはさむと $3f^{\prime }(a)-f^{\prime }(a)=2f^{\prime }(a)$ になります。

同じ側の 2 点なので引き算になりました。幅の差が $2h$ だからです。

$4$ つめは左右対称の形です。$\frac{1}{2}(f^{\prime }(a)+f^{\prime }(a))=f^{\prime }(a)$ で、ちょうど $f^{\prime }(a)$ になります。

数値で確かめる

$f(x)=x^2$、$a=1$ で試します。$f^{\prime }(1)=2$ です。

$$\begin{array}{rl}\frac{f(1+2h)-f(1-3h)}{h}& =\frac{(1+4h+4h^2)-(1-6h+9h^2)}{h}\\ & =\frac{10h-5h^2}{h}=10-5h\end{array}$$

$h\to 0$ で $10$。$5f^{\prime }(1)=5\times 2=10$ で合っています。

左の点が速く、右の点がゆっくり寄ります。それでも割った値は 1 つの数に落ち着きます。

分母が $x-a$ でない形

$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f(x)-f(1)}{x^2-1}$ を考えます。分母が $2$ 次です。

$x^2-1=(x-1)(x+1)$ と因数分解して、$x-1$ の部分だけを定義の形に使います。

$$\frac{f(x)-f(1)}{x-1}\cdot \frac{1}{x+1}$$

$x\to 1$ で前半が $f^{\prime }(1)$、後半が $\frac{1}{2}$。答えは $\frac{f^{\prime }(1)}{2}$ です。

分母の余分な因数は、極限に入れる前に分けておきます。

分子に $x$ が混じる形

$\underset{x\to a}{\lim }\frac{x^{2}f(a)-a^{2}f(x)}{x-a}$ を求めます。分子に $x$ と $f(x)$ の両方が入っています。

分子に $-a^{2}f(a)+a^{2}f(a)$ をはさみます。

$$\begin{array}{rl}& x^{2}f(a)-a^{2}f(a)+a^{2}f(a)-a^{2}f(x)\\ & =f(a)(x^2-a^2)-a^2\{f(x)-f(a)\}\end{array}$$

$x-a$ で割って極限をとります。

$$f(a)\cdot 2a-a^2{f}^{\prime }(a)$$

答えは $2af(a)-a^2{f}^{\prime }(a)$。$f$ に関する部分と、$x^2$ に関する部分を分けたのがこつです。

置きかえてよい場合

$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h^2)-f(a)}{h^2}$ を見ます。増分が $h^2$ です。

$k=h^2$ とおくと、$h\to 0$ のとき $k\to 0$。式は $\frac{f(a+k)-f(a)}{k}$ になります。

答えは $f^{\prime }(a)$ です。増分と分母が同じ形なら、中身が $h$ でも $h^2$ でも変わりません。

ただし $h^2$ は正の側からしか $0$ に近づきません。両側の値が一致する関数でだけ、この置きかえが通ります。

同じ側にある場合も確かめます。

$f(a)$ を足して引き、増分と分母をそろえる。この 2 手で、どんな係数が付いていても定義の形へ戻せます。

参考