3つの解を全部そこへ収めるには？3次方程式と範囲の条件

$x^3-3x^2-9x=k$ の 3 つの解が全部 $-2<x<5$ に入るのは、$-2<k<5$ のときです。

解が 3 個あることと、その 3 個が指定の範囲に収まることは別の条件。両方を同時に満たす $k$ を探します^[1]。

見るのは 4 つの数だけです。極大値、極小値、そして区間の両端での値。

4 つの数を先に出す

$f(x)=x^3-3x^2-9x$ の導関数は $3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)$ です。

極大値は $f(-1)=-1-3+9=5$、極小値は $f(3)=27-27-27=-27$。

区間の端では $f(-2)=-8-12+18=-2$、$f(5)=125-75-45=5$ です。

この 4 つで、区間の中の形が決まります。左端の $-2$ から上がって $5$、下がって $-27$、また上がって $5$。

3 個あるための条件

解が 3 個になるのは、水平線 $y=k$ が極小値と極大値のあいだにあるときです。

$$-27<k<5$$

これは範囲の指定を無視した、全体での条件になります。

全部を範囲に入れる条件

いちばん左の解が $-2$ より右にあり、いちばん右の解が $5$ より左にあればよい。

左の解は $x<-1$ の増加する部分にあります。この部分で $f$ は $-2$ より左では $-2$ 未満です。

だから解が $-2$ より右にある条件は $k>f(-2)=-2$。

右の解は $x>3$ の増加する部分。$5$ より右では $f$ が $5$ を超えるので、条件は $k<f(5)=5$ です。

3 つを合わせると $-27<k<5$ かつ $-2<k$ かつ $k<5$。共通部分は $-2<k<5$ です。

$k$ を上下させると、解が範囲から出たり入ったりします。3 つとも緑になるのが $-2<k<5$ のあいだ。

例：ちょうど 2 個にする

同じ関数で、$-2<x<4$ にちょうど 2 個の解をもつ $k$ を求めます。右端を $4$ に変えました。

$f(4)=64-48-36=-20$ です。区間の中の形は、$-2$ から $5$ へ上がり、$-27$ へ下がり、$-20$ へ上がる。

3 つの区間に分けて、それぞれで解が 1 個できる条件を書きます。

合計が 2 個になるのは、上り 2 つのうち片方だけが効くときです。

$-2<k<5$ なら最初の上りと下りで 2 個。$-27<k<-20$ なら下りと最後の上りで 2 個。

答えは $-2<k<5$ または $-27<k<-20$。離れた 2 つの範囲になりました。

例：正の解と負の解に分ける

$x^3-3x^2-9x=k$ の解を、符号で分けて数えます。$f(0)=0$ が目印です。

解が 3 個ある $-27<k<5$ で考えます。左端の解は $x<-1$ にあるので、いつでも負です。

真ん中の解は $-1<x<3$ にあり、この区間で $f$ は減っています。$f(0)=0$ なので、$k<0$ なら解は正、$k>0$ なら負。

右端の解は $x>3$ にあるので、いつでも正です。

$k=0$ なら真ん中の解がちょうど $0$。正が 1 個、負が 1 個、残り 1 個は $0$ です。

すべてを範囲に入れられない場合もある

範囲を $-2<x<4$ にして、3 つの解を全部入れられるか考えます。

左からの条件は $k>f(-2)=-2$、右からの条件は $k<f(4)=-20$ です。

$-2<k$ と $k<-20$ を同時に満たす $k$ はありません。この範囲に 3 つ全部を入れることはできない。

範囲が狭すぎると、こういう結論になります。条件の共通部分が空になったら、そこで答えなしと判断します。

数え方も確かめます。

範囲の端での値を計算する。それを極値と並べて、水平線の高さがどこにあるかで数える。手順は個数を数えるときと同じです。

参考