直交する2本の接線が引ける点……1本の直線の上に並ぶ

$y = x^{2}$ に 2 本の接線を引いて直角に交わらせると、その交点は必ず $y = - \frac{1}{4}$ の上に来ます。

どの 2 本を選んでも高さが変わりません。 $x$ 座標は動きますが、 $y$ 座標は $- \frac{1}{4}$ で固定されます。

直交という条件が、交点の高さを 1 つに決めてしまう。理由は傾きの積にあります^[1]。

直交の条件を接点で書く

接点を $(t_{1}, t_{1}^{2})$ と $(t_{2}, t_{2}^{2})$ とします。傾きはそれぞれ $2 t_{1}$ と $2 t_{2}$ です。

垂直に交わる 2 直線は、傾きの積が $- 1$ でした。

$2 t_{1} \cdot 2 t_{2} = - 1$

整理すると $t_{1} t_{2} = - \frac{1}{4}$ 。2 つの接点の $x$ 座標の積が決まりました。

積が負なので、片方は正、もう片方は負です。頂点をはさんで左右に 1 つずつ接点があることになります。

交点の座標を出す

2 本の接線は $y = 2 t_{1} x - t_{1}^{2}$ と $y = 2 t_{2} x - t_{2}^{2}$ です。連立します。

$2 t_{1} x - t_{1}^{2} 2 x (t_{1} - t_{2}) 2 x (t_{1} - t_{2}) = 2 t_{2} x - t_{2}^{2} = t_{1}^{2} - t_{2}^{2} = (t_{1} + t_{2}) (t_{1} - t_{2})$

$t_{1} \neq = t_{2}$ なので割れて、 $x = \frac{t _{1} + t _{2}}{2}$ 。接点の中点の $x$ 座標です。

これを 1 本目の式に戻します。

$y = 2 t_{1} \cdot \frac{t _{1} + t _{2}}{2} - t_{1}^{2} = t_{1}^{2} + t_{1} t_{2} - t_{1}^{2} = t_{1} t_{2}$

$y$ 座標は接点の積そのものでした。直交の条件から $t_{1} t_{2} = - \frac{1}{4}$ なので、 $y = - \frac{1}{4}$ に決まります。

接点を動かすと 2 本の接線は回りますが、緑の交点は点線の上を横に滑るだけです。

例：接点の組を具体的に出す

$t_{1} t_{2} = - \frac{1}{4}$ を満たす組を選びます。 $t_{1} = \frac{1}{2}$ なら $t_{2} = - \frac{1}{2}$ です。

傾きは $1$ と $- 1$ 。積が $- 1$ で確かに直交します。

接線は $y = x - \frac{1}{4}$ と $y = - x - \frac{1}{4}$ 。連立すると $x = 0$ 、 $y = - \frac{1}{4}$ です。

別の組も試します。 $t_{1} = 1$ なら $t_{2} = - \frac{1}{4}$ で、傾きは $2$ と $- \frac{1}{2}$ 。

接線は $y = 2 x - 1$ と $y = - \frac{1}{2} x - \frac{1}{16}$ 。連立すると $x = \frac{3}{8}$ 、 $y = - \frac{1}{4}$ になります。

接点の組	傾きの組	交点
$\frac{1}{2}$ , $- \frac{1}{2}$	$1$ , $- 1$	$(0, - \frac{1}{4})$
$1$ , $- \frac{1}{4}$	$2$ , $- \frac{1}{2}$	$(\frac{3}{8}, - \frac{1}{4})$
$2$ , $- \frac{1}{8}$	$4$ , $- \frac{1}{4}$	$(\frac{15}{16}, - \frac{1}{4})$

$x$ 座標は組ごとに違いますが、 $y$ 座標は動きません。

開き方が変わるとどうなるか

$y = a x^{2}$ で同じ計算をします。傾きは $2 a t_{1}$ と $2 a t_{2}$ です。

直交の条件は $4 a^{2} t_{1} t_{2} = - 1$ から $t_{1} t_{2} = - \frac{1}{4 a ^{2}}$ 。

交点の $y$ 座標は $a t_{1} t_{2}$ になるので、代入すると次のとおり。

$y = a \cdot (- \frac{1}{4 a ^{2}}) = - \frac{1}{4 a}$

$a = 1$ なら $- \frac{1}{4}$ 、 $a = 2$ なら $- \frac{1}{8}$ 、 $a = \frac{1}{2}$ なら $- \frac{1}{2}$ です。

開きが鋭いほど、直線は頂点の近くに来ます。

頂点が原点にない場合も、頂点から下へ同じだけ離れた高さになります。

$y = a (x - h)^{2} + k$ なら $y = k - \frac{1}{4 a}$ 。左右にずらしても高さは変わらない。

$y = x^{2} - 4 x + 5$ を平方完成すると $(x - 2)^{2} + 1$ です。 $a = 1$ 、 $k = 1$ なので、交点は $y = \frac{3}{4}$ の上に並びます。

3 次関数では引けないことがある

$y = x^{3}$ で同じことを試します。接点 $t$ での傾きは $3 t^{2}$ です。

$3 t^{2}$ は $t$ が何であっても $0$ 以上。だから 2 つの傾きの積も $0$ 以上になります。

$3 t_{1}^{2} \cdot 3 t_{2}^{2} = 9 t_{1}^{2} t_{2}^{2} \geq 0$

$- 1$ になることはありません。 $y = x^{3}$ には、直交する 2 本の接線を引ける点が 1 つもない。

y = x^{3}

傾きが負にならない。積は $0$ 以上のままで直交できない

y = x^{3} - 3 x

傾きは $3 t^{2} - 3$ で負になれる。直交する組が作れる

$y = x^{3} - 3 x$ なら傾きが $- 3$ まで下がります。条件は $(3 t_{1}^{2} - 3) (3 t_{2}^{2} - 3) = - 1$ で、これを満たす実数の組が存在します。

3 次関数で直交の組が作れるかどうかは、導関数が負の値をとれるかで決まる。導関数のグラフが横軸を割るかどうかを先に見ます。

接点を 2 つおいて傾きを書く

積が $- 1$ という式を立てる

その式に実数解があるかを調べる

$y = 2 x^{2}$ に直交する 2 本の接線を引いたとき、交点の $y$ 座標はいくつですか。

$- \frac{1}{8}$
$- \frac{1}{4}$
$- \frac{1}{2}$

__RESULT__

$y = a x^{2}$ の場合、交点は $y = - \frac{1}{4 a}$ の上に並びます。 $a = 2$ なので $- \frac{1}{8}$ です。 $- \frac{1}{4}$ は $a = 1$ のときの値にあたります。

3 次関数の場合も確かめます。

$y = x^{3}$ に直交する 2 本の接線が引けないのはなぜですか。

接線の傾きが負にならないため
接点が 1 つしかとれないため
変曲点があるため

__RESULT__

導関数が $3 x^{2}$ なので、傾きはつねに $0$ 以上です。2 つ掛けても $0$ 以上のままで、 $- 1$ になりません。 $y = x^{3} - 3 x$ のように導関数が負の値をとる 3 次関数なら、直交する組が作れます。

傾きの積が $- 1$ という 1 本の式が、接点の積を固定します。積が決まれば交点の高さも決まる、という筋道です。

参考文献

Normal. Encyclopedia of Mathematics.

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

Eric W. Weisstein. *Normal Line*. MathWorld, A Wolfram Resource.

$y = x^2$ に直角に交わる 2 本の接線を引くと、その交点はいつも $y = -\dfrac{1}{4}$ の上に来ます。傾きの積が $-1$ という条件が接点の積を $-\dfrac{1}{4}$ に固定し、交点の $y$ 座標がその積そのものになるためです。$y = ax^2$ なら $y = -\dfrac{1}{4a}$、頂点がずれていれば頂点から下へ同じだけ離れた高さ。$y = x^3$ は傾きが負にならないので直交する組が 1 つも作れず、$y = x^3 - 3x$ なら作れます。