極大値と極小値を足すと真ん中の高さの2倍（3次関数の対称性）

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ の極大値は $5$ 、極小値は $1$ です。足すと $6$ 。

一方、 $f (2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$ です。和はこの $2$ 倍になっています。

$x = 2$ はグラフの対称の中心でした。極値を 2 つ計算しなくても、中心の高さを $2$ 倍すれば和が出ます^[1]。

なぜ 2 倍になるのか

3 次関数のグラフは、中心 $m = - \frac{b}{3 a}$ に関して点対称です。

極大値をとる $x$ と極小値をとる $x$ は、中心から左右に同じだけ離れています。 $m - r$ と $m + r$ と書ける。

点対称の関係から、この 2 点の高さの和は中心の高さの $2$ 倍になります。

$f (m - r) + f (m + r) = 2 f (m)$

左辺が極大値と極小値の和です。だから和は $2 f (m)$ に決まります。

中心の $x$ を $- \frac{b}{3 a}$ で出す

そこでの $f$ の値を計算する

$2$ 倍する

極値そのものを求める必要がありません。 $f^{'} (x) = 0$ を解かなくても和が出る。

例：いくつかの関数で確かめる

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ は $m = 1$ 、 $f (1) = - 6$ です。和は $- 12$ 。

実際の極値は $f (- 1) = 10$ と $f (3) = - 22$ で、足すと $- 12$ 。合っています。

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ なら $m = \frac{1}{2}$ 、 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 6 = - \frac{13}{2}$ です。和は $- 13$ 。

極値は $f (- 1) = 7$ と $f (2) = - 20$ 。足すと $- 13$ で一致します。

関数	中心の高さ	極値の和
$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$	$- 6$	$- 12$
$2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$	$- \frac{13}{2}$	$- 13$
$x^{3} - 3 x$	$0$	$0$

$x^{3} - 3 x$ は中心が原点なので和が $0$ 。極値の $2$ と $- 2$ が打ち消し合っています。

紫の点はいつも赤と緑の中間にあります。上下に動かしても、3 つの間隔は変わりません。

平行移動しても間隔は変わらない

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + k$ で考えます。 $m = 1$ 、 $f (1) = k - 2$ です。

極値は $f (0) = k$ と $f (2) = 8 - 12 + k = k - 4$ 。差はいつも $4$ です。

$k$ を変えると 3 つの高さがそろって上下しますが、上下の間隔は固定されています。

定数項は極値の和を動かしますが、差には効きません。定数を足すのは、グラフを持ち上げるだけだからです。

定数項 $d$ を変えると、極値の和は動くが差は動かない。

和は $2 f (m)$ に含まれるので $2 d$ だけ増える。差は引き算で $d$ が消える。

例：和が $0$ になる条件

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + k$ の極値の和が $0$ になる $k$ を求めます。

和は $2 (k - 2)$ なので、 $0$ になるのは $k = 2$ のとき。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 2$ で、極値は $f (0) = 2$ と $f (2) = - 2$ 。確かに打ち消し合います。

和が $0$ ということは、中心が $x$ 軸の上にあるということです。 $f (m) = 0$ と同じ条件になる。

このとき極大値と極小値は符号が違うので、積は必ず負です。3 次方程式 $f (x) = 0$ は異なる 3 つの実数解をもちます。

例：和から係数を決める

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + 3$ の極値の和が $10$ になる $a$ を求めます。

中心は $m = - \frac{a}{3}$ です。そこでの値を計算します。

$f (- \frac{a}{3}) = - \frac{a ^{3}}{27} + a \cdot \frac{a ^{2}}{9} + 3 = \frac{2 a ^{3}}{27} + 3$

和はこの $2$ 倍なので $\frac{4 a ^{3}}{27} + 6 = 10$ 。

$\frac{4 a ^{3}}{27} = 4$ から $a^{3} = 27$ で $a = 3$ です。

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2} + 3$ を確かめます。 $f^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)$ なので極値は $f (0) = 3$ と $f (- 2) = - 8 + 12 + 3 = 7$ 。和は $10$ で合っています。

極値をもたない場合は使えない

和が $2 f (m)$ になるのは、極大値と極小値が実際に存在するときです。

$f^{'} (x) = 0$ が実数解をもたなければ、そもそも極値がありません。中心の高さは計算できても、和という言葉が意味をもたない。

$f (x) = x^{3} + 3 x + 1$ では $f^{'} = 3 x^{2} + 3 > 0$ で、極値がありません。 $m = 0$ 、 $f (0) = 1$ ですが、和を問う場面がない。

極値をもつ

$f^{'} (x) = 0$ が異なる 2 解。和は $2 f (m)$ で出る

極値をもたない

$f^{'} (x) = 0$ が実数解をもたないか重解。和という量が現れない

問題文に極値の和とあれば、まず極値をもつ条件が満たされているかを確かめます。判別式が正であることが前提です。

$f (x) = x^{3} - 9 x^{2} + 15 x$ の極大値と極小値の和はいくつですか。

$- 54$
$54$
$- 27$

__RESULT__

中心は $m = \frac{9}{3} = 3$ です。 $f (3) = 27 - 81 + 45 = - 9$ なので、和は $2 \times (- 9) = - 54$ 。極値を個別に出さずに答えられます。

定数項の効き方も確かめます。

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 5$ の極値の和は、 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2}$ の極値の和と比べてどれだけ変わりますか。

$10$ 増える
$5$ 増える
変わらない

__RESULT__

和は $2 f (m)$ なので、定数を $5$ 足すと $f (m)$ が $5$ 増え、和は $10$ 増えます。極値の差のほうは変わりません。

極値を 2 つ求めてから足すのではなく、中心の高さを $2$ 倍する。対称性が計算を 1 回に減らします。

出典

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Extremum. Encyclopedia of Mathematics.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

$x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の極値は 5 と 1 で、和は 6。対称の中心 $f(2) = 3$ のちょうど 2 倍です。極値をとる 2 点は中心から左右に等しく離れているので、点対称の関係がそのまま和を決めます。$f'(x) = 0$ を解かなくても、$m = -\dfrac{b}{3a}$ を代入して 2 倍するだけ。定数項を変えると和は動きますが差は動きません。和が $0$ になるのは中心が横軸に乗るときで、そのとき解は必ず 3 個。和から係数を逆算する例も入れました。