2点を結ぶ傾きと同じ接線がどこかにある｜平均変化率と微分係数

$y = x^{3}$ の $0$ から $3$ までの平均変化率は $9$ です。この $9$ と同じ傾きの接線が、区間の中の $x = 3$ に引けます。

2 点を結んだ直線と平行な接線が、そのあいだのどこかにある。多項式ではいつでもこうなります^[1]。

平均変化率は割線の傾き、微分係数は接線の傾き。同じ値になる場所を探す問題です。

探し方

平均変化率を計算し、それが $f^{'} (c)$ に等しくなる $c$ を解きます。

$f (x) = x^{3}$ 、区間 $[0, 3]$ なら平均変化率は $\frac{27 - 0}{3} = 9$ 。

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ なので $3 c^{2} = 9$ から $c^{2} = 3$ 、つまり $c = \pm 3$ 。

区間の中にあるのは $c = 3 \approx 1.732$ です。 $- 3$ は範囲の外なので捨てます。

区間の両端から平均変化率を出す

$f^{'} (c)$ をその値と等しいと置く

出た $c$ が区間の中にあるかを確かめる

2 次関数なら中点

$f (x) = x^{2}$ の区間 $[a, b]$ での平均変化率は $\frac{b ^{2} - a ^{2}}{b - a} = a + b$ でした。

$f^{'} (c) = 2 c$ なので $2 c = a + b$ から $c = \frac{a + b}{2}$ 。区間のちょうど真ん中です。

どんな区間をとっても中点になります。放物線が左右対称であることの表れです。

3 次関数では中点からずれます。 $[0, 3]$ の中点は $1.5$ ですが、答えは $3 \approx 1.73$ でした。

接点を動かすと接線の傾きが変わります。割線と平行になる瞬間がちょうど 1 か所ありました。

例：区間を変える

$f (x) = x^{3}$ の $[1, 2]$ で試します。平均変化率は $\frac{8 - 1}{1} = 7$ 。

$3 c^{2} = 7$ から $c = \frac{7}{3} \approx 1.528$ 。区間の中です。

$[a, b]$ で一般に計算すると、平均変化率は $a^{2} + ab + b^{2}$ でした。

$3 c^{2} = a^{2} + ab + b^{2}$

$c = \frac{a ^{2} + ab + b ^{2}}{3}$ です。 $[0, 3]$ なら $3$ 、 $[1, 2]$ なら $\frac{7}{3}$ になります。

関数	区間	一致する $c$
$x^{2}$	$[a, b]$	$\frac{a + b}{2}$
$x^{3}$	$[0, 3]$	$3$
$x^{3}$	$[1, 2]$	$\frac{7}{3}$

2 か所で一致することもある

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の $[- 2, 2]$ で計算します。

$f (- 2) = - 8 + 6 = - 2$ 、 $f (2) = 8 - 6 = 2$ なので、平均変化率は $\frac{2 - ( - 2 )}{4} = 1$ 。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3$ なので $3 c^{2} - 3 = 1$ から $c^{2} = \frac{4}{3}$ 。

$c = \pm \frac{2}{3} \approx \pm 1.155$ 。どちらも区間の中にあります。

同じ傾きの接線が 2 本引ける形です。2 次関数では 1 か所しかありませんでした。

$f^{'} (c)$ が 2 次式なので、 $c$ の方程式が 2 次になる。

2 解とも区間に入れば、平行な接線が 2 本。片方だけ入ることもある。

端が答えになる場合

$f (x) = x^{3} - 3 x$ の $[- 1, 2]$ で計算します。

$f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ 、 $f (2) = 2$ なので、平均変化率は $\frac{2 - 2}{3} = 0$ 。

$3 c^{2} - 3 = 0$ から $c = \pm 1$ 。 $c = 1$ は区間の中ですが、 $c = - 1$ は左端です。

区間の内側にある答えは $c = 1$ の 1 つ。両端は解に数えない、という約束で考えます。

平均変化率が $0$ なので、割線は水平です。それと平行な接線は極値のところに引ける。

2 次関数

$c$ の方程式が 1 次。答えはいつでも中点の 1 つ

3 次関数

$c$ の方程式が 2 次。区間の中に 1 つのことも 2 つのこともある

いつでも存在するのか

多項式のグラフはつながっていて折れ目もありません。だから平均の傾きと同じ接線が必ずどこかにあります。

これは数学 III で定理として整理されます。数学 II の範囲では、具体的な関数で $c$ を計算する形で出ます。

折れ目のある関数では成り立ちません。 $y = ∣ x ∣$ の $[- 1, 1]$ では平均変化率が $0$ ですが、傾きが $0$ の接線はどこにも引けない。

$x = 0$ で微分できないためです。多項式なら、こういう心配は要りません。

$f (x) = x^{3}$ の区間 $[0, 2]$ で、平均変化率と微分係数が等しくなる $x$ はどれですか。

$\frac{2}{3}$
$1$
$\frac{4}{3}$

__RESULT__

平均変化率は $\frac{8 - 0}{2} = 4$ です。 $3 c^{2} = 4$ から $c = \frac{2}{3} \approx 1.155$ 。 $1$ は区間の中点で、2 次関数ならこれが答えになります。

個数の違いも確かめます。

3 次関数で、平均変化率と一致する接線が区間の中に 2 本引けることがあるのはなぜですか。

$f^{'} (c)$ が 2 次式で、方程式の解が 2 つになりうるため
平均変化率が 2 通りに計算できるため
接線が必ず 2 本ずつ引けるため

__RESULT__

$f^{'} (x)$ が 2 次式なので、 $f^{'} (c)$ を定数と等しいと置くと 2 次方程式になります。2 解とも区間に入れば 2 本、片方だけなら 1 本です。

割線の傾きを出し、それと同じ値になる接点を探す。2 次関数なら中点、3 次関数なら 2 次方程式を解く作業になります。

出典

The Rate of Change of a Function. Calculus Early Transcendentals, Simon Fraser University.

David Guichard. *2.1: The Slope of a Function*/02:_Instantaneous_Rate_of_Change-_The_Derivative/2.01:_The_Slope_of_a_Function). Calculus, Whitman College.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

$y = x^3$ の $0$ から $3$ までの平均変化率は 9 で、同じ傾きの接線が $x = \sqrt{3}$ に引けます。割線と平行な接線が、そのあいだのどこかにある。2 次関数なら答えはいつでも区間の中点ですが、3 次関数では $f'(c)$ が 2 次式なので方程式が 2 次になり、区間の中に 2 本引けることもあります。$x^3 - 3x$ の $[-2, 2]$ がその例。折れ目のある $y = |x|$ では成り立たないことも見ました。数学 III で定理として整理される話の入口です。