2点を結ぶ傾きと同じ接線がどこかにある｜平均変化率と微分係数

$y=x^3$ の $0$ から $3$ までの平均変化率は $9$ です。この $9$ と同じ傾きの接線が、区間の中の $x=\sqrt{3}$ に引けます。

2 点を結んだ直線と平行な接線が、そのあいだのどこかにある。多項式ではいつでもこうなります^[1]。

平均変化率は割線の傾き、微分係数は接線の傾き。同じ値になる場所を探す問題です。

探し方

平均変化率を計算し、それが $f^{\prime }(c)$ に等しくなる $c$ を解きます。

$f(x)=x^3$、区間 $[0,3]$ なら平均変化率は $\frac{27-0}{3}=9$。

$f^{\prime }(x)=3x^2$ なので $3c^2=9$ から $c^2=3$、つまり $c=\pm \sqrt{3}$。

区間の中にあるのは $c=\sqrt{3}\approx 1.732$ です。$-\sqrt{3}$ は範囲の外なので捨てます。

2 次関数なら中点

$f(x)=x^2$ の区間 $[a,b]$ での平均変化率は $\frac{b^2-a^2}{b-a}=a+b$ でした。

$f^{\prime }(c)=2c$ なので $2c=a+b$ から $c=\frac{a+b}{2}$。区間のちょうど真ん中です。

どんな区間をとっても中点になります。放物線が左右対称であることの表れです。

3 次関数では中点からずれます。$[0,3]$ の中点は $1.5$ ですが、答えは $\sqrt{3}\approx 1.73$ でした。

接点を動かすと接線の傾きが変わります。割線と平行になる瞬間がちょうど 1 か所ありました。

例：区間を変える

$f(x)=x^3$ の $[1,2]$ で試します。平均変化率は $\frac{8-1}{1}=7$。

$3c^2=7$ から $c=\sqrt{\frac{7}{3}}\approx 1.528$。区間の中です。

$[a,b]$ で一般に計算すると、平均変化率は $a^2+ab+b^2$ でした。

$$3c^2=a^2+ab+b^2$$

$c=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}$ です。$[0,3]$ なら $\sqrt{3}$、$[1,2]$ なら $\sqrt{\frac{7}{3}}$ になります。

2 か所で一致することもある

$f(x)=x^3-3x$ の $[-2,2]$ で計算します。

$f(-2)=-8+6=-2$、$f(2)=8-6=2$ なので、平均変化率は $\frac{2-(-2)}{4}=1$。

$f^{\prime }(x)=3x^2-3$ なので $3c^2-3=1$ から $c^2=\frac{4}{3}$。

$c=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}\approx \pm 1.155$。どちらも区間の中にあります。

同じ傾きの接線が 2 本引ける形です。2 次関数では 1 か所しかありませんでした。

端が答えになる場合

$f(x)=x^3-3x$ の $[-1,2]$ で計算します。

$f(-1)=-1+3=2$、$f(2)=2$ なので、平均変化率は $\frac{2-2}{3}=0$。

$3c^2-3=0$ から $c=\pm 1$。$c=1$ は区間の中ですが、$c=-1$ は左端です。

区間の内側にある答えは $c=1$ の 1 つ。両端は解に数えない、という約束で考えます。

平均変化率が $0$ なので、割線は水平です。それと平行な接線は極値のところに引ける。

いつでも存在するのか

多項式のグラフはつながっていて折れ目もありません。だから平均の傾きと同じ接線が必ずどこかにあります。

これは数学 III で定理として整理されます。数学 II の範囲では、具体的な関数で $c$ を計算する形で出ます。

折れ目のある関数では成り立ちません。$y=|x|$ の $[-1,1]$ では平均変化率が $0$ ですが、傾きが $0$ の接線はどこにも引けない。

$x=0$ で微分できないためです。多項式なら、こういう心配は要りません。

個数の違いも確かめます。

割線の傾きを出し、それと同じ値になる接点を探す。2 次関数なら中点、3 次関数なら 2 次方程式を解く作業になります。

出典