「極限値をもつ」という一言から関数の形まで定まる

$x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3$ という条件から、 $f (1) = 0$ と $f^{'} (1) = 3$ の 2 つが出ます。

条件は 1 つしか書かれていないのに、式が 2 本立つ。極限値が存在するという言葉自体が、1 本ぶんの条件になっているためです^[1]。

$f (x) = x^{3} + a x + b$ なら、これで $a$ と $b$ が決まります。

分子も $0$ に近づくしかない

分母の $x - 1$ は $x \to 1$ で $0$ に近づきます。

もし分子が $0$ でない値に近づいたら、分数全体は限りなく大きくなってしまう。極限値をもてません。

だから分子も $0$ に近づく必要があります。 $f$ は多項式なので、 $f (1) = 0$ ということです。

分母が $0$ に近づくことを確かめる

極限値があるなら分子も $0$ だと言う

残った式を定義の形と見て $f^{'}$ の条件を出す

$f (1) = 0$ が分かったら、もとの式に戻します。

$\frac{f ( x )}{x - 1} = \frac{f ( x ) - f ( 1 )}{x - 1}$

右辺は微分係数の定義そのものです。極限は $f^{'} (1)$ になります。

与えられた値が $3$ なので $f^{'} (1) = 3$ 。これで 2 本目の式が出ました。

分子が $x = 1$ で $0$ にならないと、グラフは上下へ飛んでいきます。 $0$ のときだけ 1 つの値に落ち着く。

例：3 次関数の係数を決める

$f (x) = x^{3} + a x + b$ で $x \to 1 lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3$ とします。

$f (1) = 1 + a + b = 0$ が 1 本目。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + a$ から $f^{'} (1) = 3 + a = 3$ で $a = 0$ 。 $b = - 1$ になります。

$f (x) = x^{3} - 1$ です。確かめると $\frac{x ^{3} - 1}{x - 1} = x^{2} + x + 1$ で、 $x \to 1$ の極限は $3$ 。

例：定数項がない形

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + b x$ で $x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 8$ とします。

$f (2) = 8 + 4 a + 2 b = 0$ から $2 a + b = - 4$ 。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 2 a x + b$ より $f^{'} (2) = 12 + 4 a + b = 8$ で $4 a + b = - 4$ 。

引くと $2 a = 0$ で $a = 0$ 、 $b = - 4$ 。 $f (x) = x^{3} - 4 x$ です。

$\frac{x ^{3} - 4 x}{x - 2} = \frac{x ( x - 2 ) ( x + 2 )}{x - 2} = x (x + 2)$ で、 $x \to 2$ の極限は $8$ 。合っています。

条件	式 1	式 2
$lim \frac{f ( x )}{x - 1} = 3$	$f (1) = 0$	$f^{'} (1) = 3$
$lim \frac{f ( x ) - 5}{x - 2} = 3$	$f (2) = 5$	$f^{'} (2) = 3$
$lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}}$ が有限	$f (1) = 0$	$f^{'} (1) = 0$

分子が $0$ でない値に近づく形

$x \to 2 lim \frac{f ( x ) - 5}{x - 2} = 3$ では、分子が $f (x) - 5$ です。

極限値があるので $f (2) - 5 = 0$ 、つまり $f (2) = 5$ 。

残りは $\frac{f ( x ) - f ( 2 )}{x - 2}$ の形なので、極限は $f^{'} (2)$ 。値は $3$ です。

引かれている定数がそのまま $f (a)$ の値になります。

分子の定数は、 $f (a)$ がその値であることを表す。

$f (x) - c$ が $0$ に近づくには $f (a) = c$ が要る。定数が条件を 1 つ運んでいる。

分母が $2$ 乗の場合

$x \to 1 lim \frac{f ( x )}{( x - 1 ) ^{2}}$ が有限の値をもつとします。

分母は $x \to 1$ で $0$ に近づき、しかも $x - 1$ より速く小さくなります。

分子が $f (1) = 0$ を満たすだけでは足りません。 $\frac{f ( x )}{x - 1}$ が $f^{'} (1)$ に近づくので、全体は $\frac{f ^{'} ( 1 )}{x - 1}$ のように振る舞います。

これが有限になるには $f^{'} (1) = 0$ も必要です。 $f (x)$ が $(x - 1)^{2}$ で割り切れる条件と同じ。

$f (x) = x^{3} + a x + b$ なら $1 + a + b = 0$ と $3 + a = 0$ から $a = - 3$ 、 $b = 2$ 。

$f (x) = x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ で、極限は $x \to 1 lim (x + 2) = 3$ になります。

分母の次数だけ条件が増えます。数学 II で扱うのは $2$ 乗までです。

例：分子が 2 次式

$x \to 1 lim \frac{x ^{2} + a x + b}{x - 1} = 4$ となる $a$ 、 $b$ を求めます。

分子を $g (x)$ とすると $g (1) = 1 + a + b = 0$ 。

$g^{'} (x) = 2 x + a$ から $g^{'} (1) = 2 + a = 4$ で $a = 2$ 。 $b = - 3$ です。

$\frac{x ^{2} + 2 x - 3}{x - 1} = \frac{( x - 1 ) ( x + 3 )}{x - 1} = x + 3$ で、 $x \to 1$ の極限は $4$ 。合っています。

因数分解して約分する道もありますが、微分係数を使うと文字を残したまま処理できます。

因数分解で解く

分子を $(x - a)$ でくくり、残りに代入する。数値のときは速い

微分係数で解く

$f (a) = 0$ と $f^{'} (a)$ の 2 式を書く。文字が入っていても同じ手順で進む

$f (x) = x^{3} + a x + b$ が $x \to 2 lim \frac{f ( x )}{x - 2} = 5$ を満たすとき、 $a$ の値はどれですか。

$- 7$
$7$
$- 5$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + a$ から $f^{'} (2) = 12 + a = 5$ なので $a = - 7$ です。 $f (2) = 8 - 14 + b = 0$ から $b = 6$ も出ます。

分母が $2$ 乗の場合も確かめます。

$x \to 3 lim \frac{f ( x )}{( x - 3 ) ^{2}}$ が有限の値をもつために必要な条件はどれですか。

$f (3) = 0$ かつ $f^{'} (3) = 0$
$f (3) = 0$ だけ
$f^{'} (3) = 0$ だけ

__RESULT__

$f (3) = 0$ だけだと $\frac{f ( x )}{x - 3}$ が $f^{'} (3)$ に近づき、それをさらに $x - 3$ で割ることになります。 $f^{'} (3) = 0$ も要ります。 $(x - 3)^{2}$ で割り切れる条件と同じです。

極限値があると書いてあれば、分子が $0$ に近づくことが決まります。その一言が式を 1 本増やしてくれます。

出典

Paul Dawkins. *The Definition of the Derivative*. Paul's Online Notes, Lamar University.

3.1 Defining the Derivative. Calculus Volume 1, OpenStax.

Derivative. Encyclopedia of Mathematics.

$\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{f(x)}{x-1} = 3$ という 1 行の条件から、$f(1) = 0$ と $f'(1) = 3$ の 2 式が出ます。分母が $0$ へ向かうので、極限値があるなら分子も $0$ に向かうしかない。残った式は微分係数の定義そのものです。$x^3 + ax + b$ なら $x^3 - 1$ に定まります。分子に定数が引かれていればそれが $f(a)$ の値、分母が $2$ 乗なら $f'(a) = 0$ も加わって $(x-a)^2$ で割り切れる条件と一致する。分子が 2 次式の場合も同じ手順で進みます。