いつでも成り立つ不等式にしたい、文字の範囲を微分で絞る

$x \geq 0$ のすべての $x$ で $x^{3} - 3 x + a \geq 0$ が成り立つのは、 $a \geq 2$ のときです。

$a$ が小さいと曲線が横軸より下へ出てしまう。出ないぎりぎりの値が $2$ になります。

前の型は不等式が正しいことを示す問題でしたが、こちらは成り立つように文字を調整する問題です^[1]。

最小値が $0$ 以上であればよい

「範囲の中のどの $x$ でも成り立つ」は、「範囲の中での最小値が $0$ 以上」と同じことです。

$1$ 点でも下へ出たら崩れます。逆に、いちばん低いところが $0$ 以上なら、ほかはすべてそれより上にある。

左辺を関数と見て最小値を求める

最小値を $a$ の式で書く

その式が $0$ 以上になる条件を解く

最小値そのものが $a$ を含む形で出るので、最後は $a$ についての不等式になります。

例： $x \geq 0$ で $x^{3} - 3 x + a \geq 0$

$f (x) = x^{3} - 3 x + a$ とおきます。導関数は $a$ を含みません。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$

$x \geq 0$ の範囲で $0$ になるのは $x = 1$ だけ。手前で負、その先で正なので、 $x = 1$ が最小です。

$f (1) = 1 - 3 + a = a - 2$

これが $0$ 以上であればよいので $a \geq 2$ 。左端の $f (0) = a$ は $a - 2$ より大きいので、最小の候補になりません。

谷の底が横軸に触れるところが境目です。それより下がると、その付近で不等式が破れます。

分離して最大値を見る道

同じ問題を、 $a$ を片側へ寄せて解くこともできます。

$x^{3} - 3 x + a \geq 0$ を $a \geq 3 x - x^{3}$ と書き直します。 $a$ が単独になりました。

右辺は $x$ の関数です。 $x \geq 0$ のすべての $x$ でこの不等式が要るので、右辺の最大値以上であればよい。

$g (x) = 3 x - x^{3}$ とおくと $g^{'} (x) = 3 - 3 x^{2} = 3 (1 + x) (1 - x)$ 。 $x = 1$ で最大です。

$g (1) = 3 - 1 = 2$ なので $a \geq 2$ 。同じ答えになりました。

左辺の最小値を見る

$a$ を式に残したまま最小値を出す。 $a$ が 2 か所に現れる形でも使える

分離して右辺の最大値を見る

$a$ が単独になるので、相手のグラフを 1 回描けば済む

$a \geq$ の形なら右辺の最大値、 $a \leq$ の形なら右辺の最小値と対応します。不等号の向きで見る場所が変わる。

例：区間が指定される場合

$- 1 \leq x \leq 2$ のすべての $x$ で $x^{3} + 3 x^{2} \geq a$ が成り立つ $a$ の範囲を求めます。

$a$ が右側にあるので、左辺の最小値が $a$ 以上であればよい。

$f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ の導関数は $3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)$ です。 $0$ になるのは $x = 0$ と $x = - 2$ 。

区間に入るのは $x = 0$ だけです。 $x = - 2$ は左端より外なので候補から外します。

$f (- 1) = - 1 + 3 = 2$ 、 $f (0) = 0$ 、 $f (2) = 8 + 12 = 20$ 。最小値は $0$ です。

したがって $a \leq 0$ になります。区間の中に極小があり、そこが最小になった形です。

最小値を出すとき、区間の外にある極値は候補から外す。

$x = - 2$ を入れて $f (- 2) = 4$ と計算しても、区間の外なので答えには関係しない。

例：4 次関数の場合

すべての実数 $x$ で $x^{4} - 4 x^{3} + a \geq 0$ が成り立つ $a$ の範囲を出します。

$f^{'} (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} = 4 x^{2} (x - 3)$ です。 $0$ になるのは $x = 0$ と $x = 3$ 。

$x = 0$ では $4 x^{2}$ が平方なので符号が変わりません。極値ではない。

$x = 3$ の前後で $x - 3$ の符号が変わるので、こちらが極小です。

$f (3) = 81 - 108 + a = a - 27$

$a \geq 27$ になります。4 次関数は $x$ を大きくしても小さくしても値が増えるので、極小がそのまま最小です。

2 つのグラフの上下として読む

不等式 $x^{3} + a \geq 3 x$ は、 $y = x^{3} + a$ が $y = 3 x$ より下へ来ない、と言いかえられます。

$a$ を動かすと 3 次曲線が上下に平行移動します。直線は動かない。

曲線が直線に触れるところまでは成り立ち、突き抜けると成り立たなくなります。触れる瞬間が境目です。

触れる場所が $x = 1$ なのは、そこで 2 本の傾きがそろうからです。 $3 x^{2} = 3$ を解いた値になります。

差の関数の最小値を求める計算と、2 本が触れる条件を求める計算は、同じ式を別の言い方で書いたものです。

例： $a$ が 2 か所に現れる形

$x \geq 0$ で $x^{3} - 3 a x + 4 \geq 0$ 、ただし $a > 0$ とします。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 a = 3 (x^{2} - a)$ なので、 $x = a$ が極小です。

$f (a) = a a - 3 a a + 4 = - 2 a a + 4$

これが $0$ 以上になる条件は $a a \leq 2$ 。両辺を 2 乗すると $a^{3} \leq 4$ です。

$a$ が $x$ の係数に入っているので、分離しても水平線になりません。左辺の最小値を出す道を選びます。

不等式の形	見る場所	条件
$a \geq g (x)$	$g$ の最大値	$a \geq$ 最大値
$a \leq g (x)$	$g$ の最小値	$a \leq$ 最小値
$f (x) \geq 0$	$f$ の最小値	最小値 $\geq 0$

$x \geq 0$ のすべての $x$ で $x^{3} - 12 x + a \geq 0$ が成り立つ $a$ の範囲はどれですか。

$a \geq 16$
$a \geq 0$
$a \geq - 16$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x + 2) (x - 2)$ なので、 $x \geq 0$ では $x = 2$ が最小です。 $f (2) = 8 - 24 + a = a - 16$ が $0$ 以上になる条件から $a \geq 16$ 。 $a \geq 0$ は左端 $f (0) = a$ だけを見た答えにあたります。

不等号の向きも確かめます。

$0 \leq x \leq 3$ のすべての $x$ で $a \leq x^{3} - 3 x^{2} + 5$ が成り立つ $a$ の範囲はどれですか。

$a \leq 1$
$a \leq 5$
$a \geq 1$

__RESULT__

右辺の最小値を出します。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 6 x = 3 x (x - 2)$ から $x = 2$ が区間内の極小で、 $f (2) = 8 - 12 + 5 = 1$ 。端は $f (0) = 5$ 、 $f (3) = 27 - 27 + 5 = 5$ なので最小は $1$ です。

いちばん低いところが $0$ を割らなければよい。成り立つ条件を求める問題も、最小値を出す作業に落ちます。

出典

4.3 Maxima and Minima. Calculus Volume 1, OpenStax.

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

$x \geq 0$ で $x^3 - 3x + a \geq 0$ がつねに成り立つのは $a \geq 2$ のとき。範囲の中のどの $x$ でも成り立つことは、最小値が $0$ 以上であることと同じです。$a$ を右へ寄せて $a \geq 3x - x^3$ とし、右辺の最大値を見る道もある。不等号の向きで、最大値を見るか最小値を見るかが変わります。区間が指定されて外の極値を候補から外す場合、$x^4 - 4x^3 + a$ のように符号が変わらない停留点がある場合、$a$ が係数に入って分離できない場合まで並べました。