極値の差は係数だけで決まる - 解と係数の関係を使う近道

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ の極大値と極小値の差は $32$ です。極値そのものを計算しなくても出ます。

差を決めているのは、極値をとる 2 つの $x$ がどれだけ離れているかだけ。その距離は解と係数の関係から出せます^[1]。

$極大値 - 極小値 = \frac{a}{2} (β - α)^{3}$

$α$ と $β$ は $f^{'} (x) = 0$ の 2 解です。 $a$ は $x^{3}$ の係数。

中心へ移して形を見る

対称の中心 $m = - \frac{b}{3 a}$ で $x = m + u$ とおくと、 $u^{2}$ の項が消えて次の形になります。

$f (m + u) - f (m) = a u^{3} + p u$

$p = f^{'} (m)$ です。極値をとるのは $3 a u^{2} + p = 0$ のとき、つまり $u = \pm r$ の 2 か所。

$r$ は中心から極値までの距離で、 $3 a r^{2} = - p$ を満たします。 $p = - 3 a r^{2}$ と書けます。

$u = \pm r$ を代入します。

$a (\pm r)^{3} + p (\pm r) = \pm a r^{3} \mp 3 a r^{3} = \mp 2 a r^{3}$

中心から上へ $2 a r^{3}$ 、下へ $2 a r^{3}$ 。差は $4 a r^{3}$ です。

$r$ は $α$ と $β$ の間隔の半分なので $r = \frac{β - α}{2}$ 。代入すると冒頭の式になります。

上と下に同じ量だけ離れているので、差はその $2$ 倍。中心が上下の真ん中にいることの言い換えです。

間隔を係数から出す

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ の 2 解に、解と係数の関係を当てます。

$α + β = - \frac{2 b}{3 a}, α β = \frac{c}{3 a}$

差の 2 乗は、和の 2 乗から積の $4$ 倍を引いて出します。

$(β - α)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = \frac{4 b ^{2}}{9 a ^{2}} - \frac{4 c}{3 a} = \frac{4 ( b ^{2} - 3 a c )}{9 a ^{2}}$

$b^{2} - 3 a c$ は $f^{'} (x) = 0$ の判別式の $\frac{1}{4}$ にあたる量です。これが正のとき極値をもちます。

$b^{2} - 3 a c$ を計算する

$(β - α)^{2}$ を出して平方根をとる

$\frac{a}{2}$ を掛けて 3 乗する

例：数値で確かめる

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ は $a = 1$ 、 $b = - 3$ 、 $c = - 9$ です。

$b^{2} - 3 a c = 9 + 27 = 36$ 。 $(β - α)^{2} = \frac{4 \times 36}{9} = 16$ なので $β - α = 4$ 。

差は $\frac{1}{2} \times 4^{3} = 32$ です。実際の極値 $10$ と $- 22$ の差と一致します。

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ なら $a = 2$ 、 $b = - 3$ 、 $c = - 12$ 。

$b^{2} - 3 a c = 9 + 72 = 81$ 。 $(β - α)^{2} = \frac{4 \times 81}{9 \times 4} = 9$ で $β - α = 3$ 。

差は $\frac{2}{2} \times 27 = 27$ 。極値 $7$ と $- 20$ の差です。

関数	$b^{2} - 3 a c$	極値の差
$x^{3} - 3 x$	$9$	$4$
$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$	$36$	$32$
$2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$	$81$	$27$

定数項は効かない

差の式に $d$ が現れません。定数項を変えてもグラフが上下に動くだけで、上下の間隔は変わらないためです。

$x^{3} - 3 x$ と $x^{3} - 3 x + 100$ の極値の差は、どちらも $4$ 。

$x$ の係数や $x^{2}$ の係数を変えると差が動きます。効くのは $a$ 、 $b$ 、 $c$ の 3 つだけです。

間隔が広がると差も広がります。 $3$ 乗で効くので、間隔が $2$ 倍なら差は $8$ 倍です。

例：差から係数を決める

$f (x) = x^{3} - 3 a x$ （ $a > 0$ ）の極値の差が $4$ になる $a$ を求めます。

$b = 0$ 、 $c = - 3 a$ なので $b^{2} - 3 a c = 9 a$ 。 $(β - α)^{2} = \frac{4 \times 9 a}{9} = 4 a$ で、間隔は $2 a$ 。

差は $\frac{1}{2} \times (2 a)^{3} = 4 a a$ です。

$4 a a = 4$ から $a a = 1$ 。両辺を $2$ 乗して $a^{3} = 1$ で $a = 1$ 。

例： $x^{2}$ の係数が動く場合

$f (x) = x^{3} + a x^{2} + 1$ の極値の差が $4$ になる $a$ を出します。

$b = a$ 、 $c = 0$ なので $b^{2} - 3 a c = a^{2}$ 。間隔は $\frac{4 a ^{2}}{9} = \frac{2∣ a ∣}{3}$ です。

差は $\frac{1}{2} \times \frac{8∣ a ∣ ^{3}}{27} = \frac{4∣ a ∣ ^{3}}{27}$ 。

$\frac{4∣ a ∣ ^{3}}{27} = 4$ から $∣ a ∣^{3} = 27$ で $a = \pm 3$ 。

$a = 3$ で確かめます。 $f^{'} = 3 x^{2} + 6 x = 3 x (x + 2)$ なので極値は $f (- 2) = 5$ と $f (0) = 1$ 。差は $4$ です。

差の式には $∣ a ∣$ が入るので、符号の違う 2 つの答えが出ることがある。

$x^{2}$ の係数の符号を変えると、グラフは左右に裏返るだけ。上下の間隔は変わらない。

$f (x) = x^{3} - 12 x + 5$ の極大値と極小値の差はいくつですか。

$32$
$16$
$10$

__RESULT__

$a = 1$ 、 $b = 0$ 、 $c = - 12$ なので $b^{2} - 3 a c = 36$ 。 $(β - α)^{2} = \frac{4 \times 36}{9} = 16$ で間隔は $4$ 、差は $\frac{1}{2} \times 64 = 32$ です。定数項の $5$ は差に効きません。

定数項の扱いも確かめます。

極値の差が変わらないのは、次のうちどの操作をしたときですか。

定数項だけを変える
$x$ の係数だけを変える
$x^{2}$ の係数だけを変える

__RESULT__

差の式は $a$ 、 $b$ 、 $c$ だけで書けて、 $d$ が現れません。定数項を変えるのはグラフを上下に動かすだけなので、上下の間隔は変わりません。

極値を 2 つ計算して引くのではなく、間隔を出して $3$ 乗する。解と係数の関係が、平方根の計算 1 回に置きかえてくれます。

参考

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Extremum. Encyclopedia of Mathematics.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

$x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ の極大値と極小値の差は 32。極値そのものを計算せずに出せます。中心へ移すと $au^3 + pu$ の形になり、極値は中心から上下へ $2ar^3$ ずつ離れる。差は $\dfrac{a}{2}(\beta - \alpha)^3$ で、間隔は解と係数の関係から $(\beta - \alpha)^2 = \dfrac{4(b^2 - 3ac)}{9a^2}$ と出ます。定数項は差に効きません。間隔が 2 倍なら差は 8 倍。差が 4 になる条件から $x^3 - 3ax$ の $a$ を決める例も入れました。