解が指定された範囲に入る条件（3次方程式と区間の端の符号）

$x^{3} - 3 x = k$ が $0 < x < 3$ の範囲に解を 2 個もつのは、 $- 2 < k < 0$ のときです。

解の個数だけを聞かれる問題と違い、範囲まで指定されると全体の交点を数えても答えになりません。指定された区間の中だけで数える必要があります。

見るのは 2 か所です。区間の中にある極値と、区間の端の値^[1]。

区間の中だけを見る

定数分離した形 $y = x^{3} - 3 x$ と $y = k$ で考えます。

$0 < x < 3$ の部分だけを見ると、曲線は $x = 0$ の高さ $0$ から下がって $x = 1$ で $- 2$ になり、そこから $x = 3$ の $18$ まで上がります。

下がってから上がる形なので、水平線が谷と左端のあいだにあれば 2 か所で出会う。

区間の端での値を計算する

区間の中にある極値を計算する

水平線がどの高さにあるかで交点を数える

$f (0) = 0$ 、極小値 $f (1) = - 2$ 、 $f (3) = 18$ 。この 3 つの数で区間の中の形が決まります。

区間の外にも交点はありますが、数えません。灰色の部分は答えに関係しない。

例： $0 < x < 3$ に 2 個

水平線 $y = k$ が谷の $- 2$ と左端の $0$ のあいだにあると、下りで 1 回、上りで 1 回出会います。

$- 2 < k < 0$

$k = - 2$ では谷に接するだけで 1 個、 $k = 0$ では左端が区間に含まれないので上りの 1 個だけになります。

端が $0 < x$ という開いた形なので、 $x = 0$ での交点は数に入りません。等号の有無で答えが変わります。

例：正の解と負の解を分ける

$x^{3} - 3 x = k$ の正の解の個数と負の解の個数を、 $k$ ごとに数えます。

$x > 0$ では $f (0) = 0$ から谷の $- 2$ へ下がり、そこから増え続けます。

$x < 0$ では左から上がってきて山の $2$ に達し、 $f (0) = 0$ まで下がります。

$k$ の範囲	正の解	負の解
$k < - 2$	$0$ 個	$1$ 個
$- 2 < k < 0$	$2$ 個	$1$ 個
$0 < k < 2$	$1$ 個	$2$ 個
$2 < k$	$1$ 個	$0$ 個

正と負を足すと、全体の個数になります。 $- 2 < k < 2$ で合計 3 個という結果と合っている。

端の符号で少なくとも 1 個を言う

分離せずに $g (x) = x^{3} - 3 x - k$ とおく道もあります。この場合は端での符号を見ます^[2]。

多項式のグラフは切れ目なくつながっています。区間の左端と右端で符号が違えば、そのあいだで必ず $x$ 軸をまたぐ。

$g (0) \cdot g (3) < 0$

$g (0) = - k$ 、 $g (3) = 18 - k$ なので $- k (18 - k) < 0$ 、つまり $k (18 - k) > 0$ から $0 < k < 18$ です。

この範囲なら $0 < x < 3$ に解が少なくとも 1 個あります。

端の符号が違えば解があると言えますが、同じ符号でも解がないとは限らない。

区間の中で 2 回またげば、両端の符号は同じに戻る。符号だけでは個数まで決まらない。

右の図では両端とも上にありますが、あいだで 2 回またいでいます。符号が同じでも解がないとは言えません。

例：区間に少なくとも 1 個ある条件

$x^{3} - 6 x^{2} + 9 x = k$ が $1 \leq x \leq 4$ に解をもつ $k$ の範囲を求めます。

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x$ の導関数は $3 (x - 1) (x - 3)$ です。区間の中に極小の $x = 3$ が入っています。

$f (1) = 4$ 、 $f (3) = 0$ 、 $f (4) = 64 - 96 + 36 = 4$ です。

区間の中で $f$ は $4$ から $0$ まで下がり、また $4$ まで上がります。値域は $0 \leq f (x) \leq 4$ 。

水平線 $y = k$ がこの範囲にあれば解をもつので、 $0 \leq k \leq 4$ です。

例：ちょうど 1 個にする

同じ設定で、解がちょうど 1 個になる $k$ を出します。

$k = 0$ なら $x = 3$ の 1 個だけ。谷に接しています。

$0 < k < 4$ では下りと上りで 1 個ずつ、合わせて 2 個です。

$k = 4$ では両端の $x = 1$ と $x = 4$ で 2 個。だからちょうど 1 個になるのは $k = 0$ だけになります。

区間の端の値を出す。

区間に入っている極値を出す。

値の並びから、区間の中での上下の動きを決める。

水平線の高さで場合を分ける。

例：解が 1 個も入らない条件

$x^{3} - 3 x = k$ が $- 1 < x < 1$ に解をもたない $k$ を求めます。

この区間で $f$ は $x = - 1$ の $2$ から $x = 1$ の $- 2$ まで下がり続けます。

区間の端は含まれないので、値は $- 2 < f (x) < 2$ の範囲を動きます。

水平線がこの外にあれば交点はありません。 $k \leq - 2$ または $2 \leq k$ です。

等号がどちらに付くかは、端を含むかどうかで決まります。 $x = \pm 1$ が区間に入っていないので、 $k = \pm 2$ のときも解なしになる。

$x^{3} - 3 x = k$ が $x > 0$ の範囲に解を 2 個もつ $k$ の範囲はどれですか。

$- 2 < k < 0$
$- 2 < k < 2$
$0 < k < 2$

__RESULT__

$x > 0$ では $f (0) = 0$ から極小値 $- 2$ まで下がり、そこから増え続けます。水平線が $- 2$ と $0$ のあいだにあれば、下りと上りで 1 回ずつ出会います。 $- 2 < k < 2$ は正負を合わせた全体で 3 個になる範囲です。

端の扱いも確かめます。

$x^{3} - 12 x = k$ が $- 2 \leq x \leq 2$ に解を 3 個もつ $k$ の範囲はどれですか。

$- 16 < k < 16$
$- 16 \leq k \leq 16$
そのような $k$ はない

__RESULT__

この区間で $f (x) = x^{3} - 12 x$ は $x = - 2$ の $16$ から $x = 2$ の $- 16$ まで下がり続けます。単調なので、どの高さの水平線とも 1 回しか出会いません。3 個になることはありません。

区間の端と、その中の極値。この 2 種類の値を並べれば、範囲を限った問題も同じ手順で片づきます。

参考

4.3 Maxima and Minima. Calculus Volume 1, OpenStax.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

$x^3 - 3x = k$ が $0 < x < 3$ に解を 2 個もつのは $-2 < k < 0$ のときです。全体の交点を数えても答えになりません。見るのは区間の端の値と、区間に入っている極値の 2 種類だけ。正の解と負の解を分けて数える表、$g(0) \cdot g(3) < 0$ から少なくとも 1 個あると言う方法、端の符号が同じでも解がないとは限らないこと、解がちょうど 1 個になる条件、1 個も入らない条件まで扱いました。等号の有無で答えが変わる場面も並べています。