接線はどこで曲線に戻ってくるか〜接点の反対側に2倍離れた点

$y=x^3-3x$ の $x=2$ における接線は $y=9x-16$ です。この直線は $x=-4$ でもう一度この曲線と交わります。

$-4$ は $2$ の $-2$ 倍。接点の反対側へ、$2$ 倍の距離だけ離れた場所です。

偶然ではありません。3 次関数では、接線が戻ってくる位置が接点から機械的に決まります^[1]。

差が重解をもつ形になる

曲線と接線の差を作ります。中心が原点にある形 $y=a{x}^3+px$ で計算すると見通しがよい。

接点を $t$ とすると接線は $y=(3a{t}^2+p)(x-t)+a{t}^3+pt$ です。差を整理します。

$$\begin{array}{rl}a{x}^3+px-\{(3a{t}^2+p)(x-t)+a{t}^3+pt\}& =a{x}^3-3a{t}^{2}x+2a{t}^3\\ & =a(x^3-3t^{2}x+2t^3)\end{array}$$

括弧の中は $x=t$ で $0$ になるので $x-t$ で割れます。2 回割ると次の形。

$$a(x-t{)}^2(x+2t)$$

$x=t$ が重解、$x=-2t$ が単解です。重解のところで接し、単解のところで横切ります。

中心がずれている場合

一般の $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ では、対称の中心 $m=-\frac{b}{3a}$ を原点と見ます。

接点の位置を中心から測って $t-m$ とすれば、再び交わる位置は中心から $-2(t-m)$ です。

もとの座標に直します。

$$x=m-2(t-m)=3m-2t$$

中心が原点なら $m=0$ で $x=-2t$。冒頭の例がこれにあたります。

緑が右へ 1 進むと、紫は左へ 2 進みます。反対向きで速さが $2$ 倍という関係です。

中心は 2 つの点を 1 対 2 に分ける

接点が $t$、戻る点が $3m-2t$、中心が $m$ です。3 つの位置関係を見ます。

接点から中心までの距離は $m-t$。接点から戻る点までは $3m-2t-t=3(m-t)$ です。

中心はちょうど $\frac{1}{3}$ の位置にいます。接点から中心まで、中心から戻る点までが $1:2$。

例：中心がずれた 3 次関数

$y=x^3-3x^2$ で $x=3$ における接線を考えます。中心は $m=\frac{3}{3}=1$ です。

戻る点は $3\times 1-2\times 3=-3$ になるはず。確かめます。

$f(3)=27-27=0$、$f^{\prime }(x)=3x^2-6x$ から $f^{\prime }(3)=9$。接線は $y=9(x-3)=9x-27$ です。

連立して整理します。

$$\begin{array}{rl}{x}^3-3x^2& =9x-27\\ x^3-3x^2-9x+27& =0\\ (x-3{)}^2(x+3)& =0\end{array}$$

$x=-3$ が出ました。予想と一致します。

中心で接すると戻ってこない

接点が中心そのもの、つまり $t=m$ のときを見ます。

戻る点は $3m-2m=m$。接点と同じ場所です。

このとき差は $a(x-m{)}^3$ という 3 重解の形になり、交点は 1 か所しかありません。

$y=x^3-3x$ の $x=0$ での接線は $y=-3x$。連立すると $x^3=0$ で、原点だけを共有します。

中心で接する線だけが特別です。触れると同時に突き抜けるので、共有点が 1 つに縮みます。

例：戻る点から接点を出す

$y=x^3-3x$ の接線が $x=6$ で再び曲線と交わるとき、接点を求めます。

中心は $m=0$ なので $-2t=6$ から $t=-3$ です。

$f(-3)=-27+9=-18$、$f^{\prime }(-3)=27-3=24$。接線は $y=24(x+3)-18=24x+54$ になります。

$x=6$ を入れると $144+54=198$。曲線のほうも $216-18=198$ で一致します。

中心で接する場合も確かめます。

差が $(x-t{)}^2$ で割り切れる。3 次式なら残る因数は 1 次なので、戻る位置が式の形から決まってしまいます。

参考文献