最大値と最小値が先に与えられる - どこでとるかで場合を分ける

$f(x)=x^3-3x+a$ の $-2\le x\le 2$ における最大値が $5$ のとき、$a=3$ です。

最大値を求める問題では候補を並べて比べました。逆向きの問題では、どれが最大なのかを決めてから方程式を立てます^[1]。

どこで最大をとるかが $a$ によって変わる場合は、場合分けが要ります。

候補を $a$ の式で並べる

$f^{\prime }(x)=3x^2-3=3(x+1)(x-1)$ なので、極値をとるのは $x=\pm 1$。どちらも区間の中です。

候補は 4 つ。それぞれを $a$ の式で書きます。

$$\begin{array}{rl}f(-2)& =-8+6+a=a-2\\ f(-1)& =-1+3+a=a+2\\ f(1)& =1-3+a=a-2\\ f(2)& =8-6+a=a+2\end{array}$$

$a$ が定数項なので、4 つとも同じだけ持ち上がります。上下の順序は $a$ によらず決まっている。

いちばん大きいのは $a+2$ です。これが $5$ なので $a=3$。ついでに最小値も $a-2=1$ と出ます。

定数項なら順序が動かない

$a$ が定数項のときは楽です。すべての候補が同じだけ動くので、大小関係が入れかわりません。

判定を 1 回すれば、あとは方程式を解くだけになります。

紫の 2 点はいつでも同じ高さです。定数を動かしても、その関係は崩れません。

例：最大と最小の両方が与えられる

$f(x)=a{x}^3-3a{x}^2+b$ を $-1\le x\le 2$ で考えます。$a>0$ とし、最大値が $10$、最小値が $-6$ とします。

$f^{\prime }(x)=3a{x}^2-6ax=3ax(x-2)$ なので、$x=0$ と $x=2$ が候補です。$x=2$ は右端でもあります。

$a>0$ なら $x=0$ で極大です。値を並べます。

$$\begin{array}{rl}f(-1)& =-a-3a+b=-4a+b\\ f(0)& =b\\ f(2)& =8a-12a+b=-4a+b\end{array}$$

$f(-1)$ と $f(2)$ が同じ値でした。$a>0$ なので $-4a+b<b$。

最大は $b=10$、最小は $-4a+b=-6$ です。$-4a+10=-6$ から $a=4$。

$f(x)=4x^3-12x^2+10$ になります。

左端と右端がたまたま同じ値になる形でした。最小値をとる場所が 2 か所ある。

判定が $a$ で変わる場合

$f(x)=a{x}^3-3ax+1$ を $0\le x\le 2$ で考えます。最大値が $3$ になる $a$ を求めます。

$f^{\prime }(x)=3a(x^2-1)=3a(x-1)(x+1)$ です。区間に入るのは $x=1$。

$a$ の符号で増減が入れかわるので、2 通りに分けます。

$a>0$ の場合、$2a+1=3$ から $a=1$。条件の $a>0$ を満たします。

$a<0$ の場合、$1-2a=3$ から $a=-1$。こちらも条件を満たします。

答えは $a=1$ と $a=-1$ の 2 つ。片方だけを書くと落としになります。

例：区間の端に文字がある

$f(x)=x^3-3x$ の $0\le x\le a$ における最大値が $2$ になる $a$ を求めます。$a>0$ です。

区間の中で $f$ は $x=1$ まで下がり、そこから増えます。最大の候補は左端の $f(0)=0$ と右端の $f(a)$。

$a$ が小さいうちは左端の $0$ が最大です。$0=2$ にはならないので、右端が最大になる場合を考えます。

$$a^3-3a=2$$

移項して $a^3-3a-2=0$。因数分解すると $(a+1{)}^2(a-2)=0$ です。

$a>0$ の解は $a=2$。$f(2)=8-6=2$ で、確かに左端の $0$ より大きい。

与えられた値が実現しない場合

最大値として指定された値が、どの候補でも作れないことがあります。

$f(x)=x^3-3x$ の $0\le x\le a$ で、最大値を $-1$ にしたいとします。

左端の $f(0)=0$ が候補にあるので、最大値は必ず $0$ 以上。$-1$ にはできません。

答えなし、という結論も出ます。候補の値の範囲を先に見ておくと気づけます。

場合分けの扱いも確かめます。

候補を文字の式で並べ、どれが最大かを決めてから等号を立てる。判定が文字によって変わるときだけ、場合分けが必要になります。

出典