極大値と極小値を掛けた符号で3次方程式の解の個数が決まる

$x^{3} - 3 x - 1 = 0$ の実数解は 3 個です。解の値を出さなくても、個数だけなら極値から分かります。

$f (x) = x^{3} - 3 x - 1$ の極大値は $f (- 1) = 1$ 、極小値は $f (1) = - 3$ 。掛けると $- 3$ で負になります。

積が負なら実数解は 3 個。これが 3 次方程式の解の個数を数える基本の道具です^[1]。

なぜ積の符号で決まるのか

3 次方程式の実数解の個数は、 $y = f (x)$ のグラフが $x$ 軸と何か所で出会うかと同じです。

$x^{3}$ の係数が正なら、グラフは左下から来て右上へ抜けます。途中に山と谷があれば、 $x$ 軸との出会い方は山と谷の高さで決まる。

山が $x$ 軸より上、谷が下にあれば、グラフは $x$ 軸を 3 回またぎます。高さの符号が逆、つまり積が負という条件です。

積が負

山が上、谷が下。あいだで 1 回、外側で 2 回またいで 3 個

積が正

山も谷も同じ側。またぐのは 1 回だけで 1 個

積が $0$ のときは、山か谷のどちらかが $x$ 軸に乗っています。そこで触れるので、解は 2 個になる。

赤と緑が横軸をはさんでいるあいだは交点が 3 か所。どちらかが横軸に乗ると 2 か所、両方が同じ側へ移ると 1 か所になります。

判定の手順

導関数を求めて極値をとる $x$ を出す

極大値と極小値を計算する

2 つを掛けて符号を見る

極値がない場合は、この手順に入る前に決まります。 $f^{'} (x) = 0$ が実数解をもたなければ、関数はずっと増えるか減るかのどちらか。

$x$ 軸との出会いは 1 回だけなので、実数解は 1 個です。

例： $x^{3} - 3 x - 1 = 0$

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x + 1) (x - 1)$ から、極値をとるのは $x = \pm 1$ 。

$f (- 1) = - 1 + 3 - 1 = 1$ 、 $f (1) = 1 - 3 - 1 = - 3$ です。

積は $1 \times (- 3) = - 3$ で負。実数解は 3 個になります。

例：積が $0$ になる場合

$x^{3} - 3 x + 2 = 0$ で調べます。 $f (- 1) = - 1 + 3 + 2 = 4$ 、 $f (1) = 1 - 3 + 2 = 0$ 。

積は $0$ です。谷がちょうど $x$ 軸に乗っている。

実際に因数分解すると $(x - 1)^{2} (x + 2) = 0$ で、 $x = 1$ が重解、 $x = - 2$ が単解です。異なる実数解は 2 個。

重解のところでグラフは $x$ 軸に触れて戻ります。またがずに跳ね返る形です。

例：積が正になる場合

$x^{3} - 3 x + 3 = 0$ なら $f (- 1) = 5$ 、 $f (1) = 1$ 。どちらも正で積も正です。

グラフ全体が $x$ 軸より上にあるところから下りてきて、1 回だけまたぎます。実数解は 1 個。

方程式	極値の積	実数解
$x^{3} - 3 x - 1 = 0$	$- 3$	3 個
$x^{3} - 3 x + 2 = 0$	$0$	2 個
$x^{3} - 3 x + 3 = 0$	$5$	1 個

例：極値をもたない 3 次方程式

$x^{3} + 3 x - 2 = 0$ を調べます。 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + 3$ です。

$3 x^{2} \geq 0$ なので $f^{'} (x) \geq 3$ 。 $0$ になりません。

極値がないので、関数はずっと増え続けます。 $x$ 軸との出会いは 1 回で、実数解は 1 個です。

極値がない 3 次関数は、必ずちょうど 1 個の実数解をもつ。

$x$ を大きくすれば値はいくらでも大きく、小さくすればいくらでも小さくなるため。

例：文字を含む方程式

$x^{3} - 3 x + k = 0$ が異なる 3 つの実数解をもつ $k$ の範囲を求めます。

$f (x) = x^{3} - 3 x + k$ の極大値は $f (- 1) = - 1 + 3 + k = k + 2$ 、極小値は $f (1) = 1 - 3 + k = k - 2$ です。

積が負になればよいので、条件はこうなります。

$(k + 2) (k - 2) < 0$

$- 2 < k < 2$ です。 $k = \pm 2$ のときは積が $0$ で解が 2 個、外側では 1 個になります。

例：係数が動く形

$2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x + a = 0$ が異なる 3 実数解をもつ $a$ の範囲を出します。

$f^{'} (x) = 6 x^{2} - 6 x - 12 = 6 (x + 1) (x - 2)$ なので、極値は $x = - 1$ と $x = 2$ でとります。

$f (- 1) = - 2 - 3 + 12 + a = a + 7$ 、 $f (2) = 16 - 12 - 24 + a = a - 20$ です。

$(a + 7) (a - 20) < 0$

$- 7 < a < 20$ になります。定数項だけが動くので、極値の差 $27$ は $a$ によらず一定です。

最高次の係数が負のとき

$- x^{3} + 3 x + k = 0$ のように $x^{3}$ の係数が負だと、グラフの向きが上下逆になります。

左上から来て右下へ抜ける形です。谷が先に来て、山があとに来る。

それでも判定は変わりません。山と谷が横軸をはさんでいれば 3 回またぐ、という関係は向きによらないためです。

$f (x) = - x^{3} + 3 x + k$ なら $f^{'} (x) = - 3 x^{2} + 3 = - 3 (x + 1) (x - 1)$ 。 $x = - 1$ で極小、 $x = 1$ で極大です。

$f (- 1) = 1 - 3 + k = k - 2$ 、 $f (1) = - 1 + 3 + k = k + 2$ 。積が負になる条件は $- 2 < k < 2$ で、係数が正のときと同じ範囲になりました。

3 重解になる場合

積が $0$ でも、山と谷が同時に $x$ 軸に乗ることはありません。片方だけです。

ただし極値をもたない場合に、 $x$ 軸との接し方が特別になることがあります。 $x^{3} = 0$ がその例で、解は $x = 0$ だけ。

$f^{'} (x) = 3 x^{2}$ は $x = 0$ で $0$ になりますが、符号が変わらないので極値ではない。実数解は 1 個です。

極値をもち、積が負なら 3 個。

極値をもち、積が

0

なら 2 個。

極値をもち、積が正なら 1 個。

極値をもたなければ 1 個。

4 つのどれに当てはまるかを見るだけで、解を求めずに個数が言えます。

$x^{3} - 12 x + k = 0$ が異なる 3 つの実数解をもつ $k$ の範囲はどれですか。

$- 16 < k < 16$
$- 4 < k < 4$
$k < - 16$ または $16 < k$

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2} - 12 = 3 (x + 2) (x - 2)$ から極値は $x = \pm 2$ でとります。 $f (- 2) = - 8 + 24 + k = k + 16$ 、 $f (2) = 8 - 24 + k = k - 16$ なので、積が負になる条件は $- 16 < k < 16$ です。

個数の判定も確かめます。

$x^{3} + 6 x^{2} + 12 x + 5 = 0$ の実数解は何個ですか。

1 個
2 個
3 個

__RESULT__

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + 12 x + 12 = 3 (x + 2)^{2}$ です。 $x = - 2$ で $0$ になりますが符号が変わらないので、極値をもちません。関数はずっと増え続けるため、実数解は 1 個になります。

解を求めずに個数を言う。極値を 2 つ計算して掛けるだけで済みます。

参考文献

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

4.3 Maxima and Minima. Calculus Volume 1, OpenStax.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

$x^3 - 3x - 1 = 0$ の実数解は 3 個。極大値 1 と極小値 $-3$ を掛けると負になるからです。山が横軸より上、谷が下にあればグラフは 3 回またぎ、同じ側なら 1 回、どちらかが横軸に乗れば 2 個になる。極値をもたない 3 次関数は必ず 1 個です。$x^3 - 3x + k = 0$ が 3 実数解をもつ条件を $(k+2)(k-2) < 0$ から $-2 < k < 2$ と出す形、$2x^3 - 3x^2 - 12x + a = 0$ の場合まで並べました。解そのものを求めずに個数だけを言えます。