3次関数のグラフは真ん中の一点に関して点対称になっている

$y = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ のグラフを、点 $(1, - 6)$ を中心に $180$ 度回すと、もとの形にぴたりと重なります。

放物線は左右対称でした。3 次関数は左右対称ではありませんが、ある 1 点に関して点対称になっています^[1]。

その中心は $x = - \frac{b}{3 a}$ の位置にあります。極大値をとる点と極小値をとる点の、ちょうど真ん中です。

点対称とはどういうことか

点 $C$ に関して点対称とは、グラフ上のどの点をとっても、 $C$ をはさんだ反対側の同じ距離のところに、またグラフ上の点があるということです。

式で書くと、中心を $(m, f (m))$ として次が成り立つことになります。

$f (m + u) + f (m - u) = 2 f (m)$

左辺は $C$ から左右に同じだけ離れた 2 点の高さの和。それが中心の高さの $2$ 倍になっている。

つまり 2 点の高さの平均が、いつでも中心の高さに一致します。中心は上下方向でも真ん中にいる。

赤い線分をどれだけ伸ばしても、その中点は緑の点から離れません。これが点対称の意味です。

中心を原点へ動かして示す

証明は、中心が原点に来るように平行移動するだけで済みます。

$f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ で $x = m + u$ とおき、 $u$ の式に整理します。

$f (m + u) = a (m + u)^{3} + b (m + u)^{2} + c (m + u) + d = a u^{3} + (3 am + b) u^{2} + (3 a m^{2} + 2 bm + c) u + f (m)$

$u^{2}$ の係数に注目します。 $m = - \frac{b}{3 a}$ を入れると $3 am + b = - b + b = 0$ になる。

$u^{2}$ の項が消えました。残るのは $u$ の奇数乗だけです。

$f (m + u) - f (m) = a u^{3} + f^{'} (m) \cdot u$

右辺は $u$ を $- u$ に変えると符号が反転する形、つまり奇関数です。原点に関して点対称になる。

$m = - \frac{b}{3 a}$ を選ぶ理由は、 $u^{2}$ の項を消すためです。

$u^{2}$ が残ると偶数乗の項が混じり、符号の反転が崩れる。 $3 am + b = 0$ を解いた値がこれになる。

もとに戻せば、 $f$ は点 $(m, f (m))$ に関して点対称です。 $m$ の値は係数だけで決まります。

例：中心を求める

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ では $a = 1$ 、 $b = - 3$ です。

$m = - \frac{- 3}{3 \cdot 1} = 1$

$f (1) = 1 - 3 - 9 + 5 = - 6$ なので、中心は $(1, - 6)$ 。

$f (x) = 2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$ なら $m = - \frac{- 3}{6} = \frac{1}{2}$ です。 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{3}{4} - 6 = - \frac{13}{2}$ 。

$f (x) = x^{3} - 3 x$ は $b = 0$ なので $m = 0$ 。中心は原点で、奇関数そのものです。

関数	中心の $x$	中心の $y$
$x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$	$1$	$- 6$
$2 x^{3} - 3 x^{2} - 12 x$	$\frac{1}{2}$	$- \frac{13}{2}$
$x^{3} - 3 x$	$0$	$0$

極値の真ん中にある

中心は、極大値をとる $x$ と極小値をとる $x$ のちょうど中点にあります。

$f^{'} (x) = 3 a x^{2} + 2 b x + c$ の 2 解を $α$ 、 $β$ とすると、解と係数の関係から和が出ます。

$α + β = - \frac{2 b}{3 a}$

中点は $\frac{α + β}{2} = - \frac{b}{3 a}$ 。さきほどの $m$ と一致しました。

極値が存在しない 3 次関数でも $m$ は定まります。 $f^{'} (x) = 0$ が実数解をもたなくても、点対称の中心はある。

点線の両端が極値、その中点が中心です。 $x$ 座標でも $y$ 座標でも真ん中にいます。

例：対称性で値を出す

$f (x) = x^{3} - 3 x^{2} - 9 x + 5$ で、 $f (4)$ が分かっているとき $f (- 2)$ を求めます。

中心は $x = 1$ です。 $4$ と $- 2$ は $1$ から左右に $3$ ずつ離れています。

対称性から $f (4) + f (- 2) = 2 f (1) = - 12$ 。 $f (4) = 64 - 48 - 36 + 5 = - 15$ なので、 $f (- 2) = - 12 + 15 = 3$ 。

直接計算しても $- 8 - 12 + 18 + 5 = 3$ です。合っています。

中心の $x$ を $- \frac{b}{3 a}$ で出す

2 点が中心から等距離かを確かめる

和が $2 f (m)$ になることを使う

例：中心が原点に来る形へ直す

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x + 1$ の中心は $m = \frac{6}{3} = 2$ 、 $f (2) = 8 - 24 + 18 + 1 = 3$ です。

$x = 2 + u$ とおいて整理します。

$f (2 + u) = (2 + u)^{3} - 6 (2 + u)^{2} + 9 (2 + u) + 1 = u^{3} - 3 u + 3$

$u^{2}$ の項が消えました。 $u^{3} - 3 u$ は奇関数なので、 $3$ だけ持ち上げた形になっています。

どの 3 次関数も、平行移動すれば $a u^{3} + p u$ という形にそろえられます。3 次関数が 1 種類しかない、と言われる理由です。

$f (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2} - 5$ のグラフが点対称になる中心の $x$ 座標はいくつですか。

$- 1$
$- 3$
$0$

__RESULT__

$m = - \frac{b}{3 a}$ に $a = 2$ 、 $b = 6$ を入れて $- \frac{6}{6} = - 1$ です。 $- 3$ は $- \frac{b}{a}$ を計算した値にあたります。

対称性の使い方も確かめます。

中心が $(2, 3)$ である 3 次関数で $f (5) = 20$ のとき、 $f (- 1)$ はいくつですか。

$- 14$
$14$
$- 20$

__RESULT__

$5$ と $- 1$ は中心から左右に $3$ ずつ離れています。 $f (5) + f (- 1) = 2 f (2) = 6$ なので、 $f (- 1) = 6 - 20 = - 14$ です。

$u^{2}$ の項を消す位置に中心がある。そこを原点へ持っていけば、3 次関数はすべて奇関数と定数の和になります。

参考文献

4.5 Derivatives and the Shape of a Graph. Calculus Volume 1, OpenStax.

Chapitre 3 — Dérivation, étude de fonctions. MathSV, Université Claude Bernard Lyon 1.

Josef Leydold. *Kapitel 7: Differentialrechnung*. Mathematik für VW, Wirtschaftsuniversität Wien.

$x^3 - 3x^2 - 9x + 5$ のグラフは $(1, -6)$ を中心に $180$ 度回すと重なります。中心は $x = -\dfrac{b}{3a}$ で、極大値をとる点と極小値をとる点の中点。$x = m + u$ とおいて整理すると $u^2$ の係数が $3am + b$ になり、この $m$ でちょうど消えます。残るのは奇数乗の項だけなので原点対称になる。$f(m+u) + f(m-u) = 2f(m)$ を使えば、片方の値からもう片方が引き算だけで出ます。$x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ を $u^3 - 3u + 3$ に直す計算まで載せました。