点の位置で接線の本数が変わる｜3次関数に引ける接線

$y=x^3$ に点 $(2,4)$ から引ける接線は 3 本、$(2,10)$ からは 1 本です。同じ曲線でも、どこから引くかで本数が変わります。

放物線なら 2 本か 1 本か 0 本の 3 通りでした。3 次関数では 3 本まで増えます^[1]。

本数を決めているのは、接点を $t$ とおいたときに出る 3 次方程式の実数解の個数です。

接点の方程式を作る

$y=x^3$ の接点を $(t,t^3)$ とすると、導関数が $3x^2$ なので接線はこうなります。

$$y=3t^2(x-t)+t^3=3t^{2}x-2t^3$$

この直線が点 $(p,q)$ を通る条件を書きます。

$$q=3p{t}^2-2t^3$$

整理すると $2t^3-3p{t}^2+q=0$。$t$ についての 3 次方程式です。

解が 3 個なら接線も 3 本、2 個なら 2 本、1 個なら 1 本になります。

極値の積で数える

$g(t)=2t^3-3p{t}^2+q$ とおきます。導関数は $6t^2-6pt=6t(t-p)$ です。

極値をとるのは $t=0$ と $t=p$。$p\ne 0$ のとき、値はそれぞれ次のようになります。

$$\begin{array}{rl}g(0)& =q\\ g(p)& =2p^3-3p^3+q=q-p^3\end{array}$$

積が負であれば解は 3 個。条件は $q(q-p^3)<0$ です。

$p>0$ のとき、この条件は $0<q<p^3$ になります。点が横軸より上、かつ曲線より下にある範囲です。

点が曲線と横軸のあいだにいるあいだは接線が 3 本。外へ出ると 1 本になります。

本数が分かれる境目

境目は積が $0$ になるところ、つまり $q=0$ または $q=p^3$ です。

$q=0$ は横軸そのもの。$y=x^3$ の原点における接線にあたります。

$q=p^3$ は曲線そのもの。点が曲線の上にある場合です。

塗った部分から引けば 3 本、境目の線の上なら 2 本、外なら 1 本です。

例：$(2,4)$ から引く

$p=2$、$q=4$ です。$p^3=8$ なので $0<4<8$ を満たします。

条件に当てはまるので接線は 3 本。方程式は $2t^3-6t^2+4=0$、つまり $t^3-3t^2+2=0$ です。

$t=1$ が解なので $(t-1)(t^2-2t-2)=0$。残りは $t=1\pm \sqrt{3}$ で、どちらも実数です。

3 つの接点が出ました。本数を聞かれているだけなら、極値の積を見た時点で答えられます。

例：曲線の上の点から引く

$(2,8)$ は $y=x^3$ の上にあります。$q=p^3$ の場合です。

方程式は $2t^3-6t^2+8=0$、つまり $t^3-3t^2+4=0$。

$(t+1)(t-2{)}^2=0$ から $t=2$ が重解、$t=-1$ が単解です。

異なる接点は 2 つなので、接線も 2 本。$t=2$ はその点自身での接線、$t=-1$ は離れた場所で触れる線です。

例：横軸の上の点から引く

$(2,0)$ をとります。$q=0$ なので境目です。

方程式は $2t^3-6t^2=2t^2(t-3)=0$。$t=0$ が重解、$t=3$ が単解です。

接線は $t=0$ から $y=0$、$t=3$ から $y=27x-54$ の 2 本になります。

$y=0$ は原点での接線です。その線上の点からは、いつでもこの接線が 1 本に数えられます。

例：縦軸の上の点から引く

$(0,5)$ をとると $p=0$ です。極値の公式が使えません。

方程式は $2t^3+5=0$。$g(t)=2t^3+5$ の導関数は $6t^2$ で、$t=0$ で $0$ になりますが符号は変わりません。

極値をもたないので実数解は 1 個。接線は 1 本です。

原点 $(0,0)$ なら $2t^3=0$ で $t=0$ の 3 重解。接線は $y=0$ の 1 本だけになります。

境目の扱いも確かめます。

接点を文字でおいて 3 次方程式にする。あとは実数解の個数を数える道具が、そのまま接線の本数を答えます。

参考