2乗の式で割った余りは接線そのもの？剰余の定理と微分のつながり

$x^{4}$ を $(x - 1)^{2}$ で割った余りは $4 x - 3$ です。

一方、 $y = x^{4}$ の $x = 1$ における接線も $y = 4 x - 3$ 。同じ式になりました。

偶然ではありません。整式を $(x - a)^{2}$ で割った余りは、いつでもその点の接線の式です^[1]。

余りを文字でおく

$(x - a)^{2}$ は 2 次式なので、余りは 1 次以下です。 $p x + q$ とおきます。

$f (x) = (x - a)^{2} Q (x) + p x + q$

まず $x = a$ を代入します。 $(a - a)^{2} = 0$ なので第 1 項が消えます。

$f (a) = p a + q$

次に両辺を微分します。積の部分は、 $(x - a)^{2}$ の微分が $2 (x - a)$ になることを使います。

$f^{'} (x) = 2 (x - a) Q (x) + (x - a)^{2} Q^{'} (x) + p$

ここに $x = a$ を入れると、前の 2 項が消えて $p$ だけが残ります。

$f^{'} (a) = p$

$p$ が接線の傾き、 $q = f (a) - a f^{'} (a)$ が切片です。まとめると余りはこう書けます。

$f^{'} (a) (x - a) + f (a)$

これは接線の方程式そのものです。

余りを $p x + q$ とおく

$x = a$ を代入して $f (a)$ の式を作る

微分してから代入し、 $p = f^{'} (a)$ を出す

例：割り算をせずに余りを出す

$x^{10}$ を $(x - 1)^{2}$ で割った余りを求めます。実際に割るのは大変です。

$f (1) = 1$ 、 $f^{'} (x) = 10 x^{9}$ から $f^{'} (1) = 10$ 。余りは $10 (x - 1) + 1 = 10 x - 9$ です。

$x^{5}$ を $(x - 1)^{2}$ で割るなら $f (1) = 1$ 、 $f^{'} (1) = 5$ で、余りは $5 x - 4$ 。

次数がいくら上がっても手間が変わりません。代入を 2 回するだけです。

割られる式	割る式	余り
$x^{4}$	$(x - 1)^{2}$	$4 x - 3$
$x^{5}$	$(x - 1)^{2}$	$5 x - 4$
$x^{10}$	$(x - 1)^{2}$	$10 x - 9$

$x^{n}$ を $(x - 1)^{2}$ で割った余りは $n x - (n - 1)$ です。 $f (1) = 1$ 、 $f^{'} (1) = n$ から出ます。

赤い直線は曲線に触れて離れます。割り算の余りが、幾何の言葉では接線になっていました。

割り切れる条件

余りが $0$ になるのは、 $f (a) = 0$ かつ $f^{'} (a) = 0$ のときです。

接線の式が $0$ になるということは、その点で曲線が $x$ 軸に触れているということ。 $x = a$ が重解になります。

(x - a)

で割り切れる

$f (a) = 0$ 。 $x = a$ が解だという条件

(x - a)^{2}

で割り切れる

$f (a) = 0$ と $f^{'} (a) = 0$ の両方。 $x = a$ が重解だという条件

剰余の定理は 1 次で割った余りが $f (a)$ になる、というものでした。 $2$ 乗で割ると、そこに $f^{'} (a)$ が加わります。

例：割り切れる条件から係数を出す

$x^{3} + a x + b$ が $(x - 1)^{2}$ で割り切れる $a$ と $b$ を求めます。

$f (1) = 1 + a + b = 0$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} + a$ から $f^{'} (1) = 3 + a = 0$ 。

$a = - 3$ 、 $b = 2$ です。 $x^{3} - 3 x + 2 = (x - 1)^{2} (x + 2)$ と因数分解でき、確かに割り切れます。

$x^{4} + a x^{2} + b$ が $(x - 1)^{2}$ で割り切れる場合も見ます。 $f (1) = 1 + a + b = 0$ 、 $f^{'} (1) = 4 + 2 a = 0$ です。

$a = - 2$ 、 $b = 1$ 。 $x^{4} - 2 x^{2} + 1 = (x^{2} - 1)^{2} = (x - 1)^{2} (x + 1)^{2}$ になります。

余りの直線が横軸と重なる瞬間、曲線も横軸に触れています。2 つの条件が同時に満たされたところです。

例：中身の商まで出す

$x^{3} - 2 x^{2} + 3$ を $(x - 2)^{2}$ で割ります。 $f (2) = 8 - 8 + 3 = 3$ 、 $f^{'} (x) = 3 x^{2} - 4 x$ から $f^{'} (2) = 4$ 。

余りは $4 (x - 2) + 3 = 4 x - 5$ です。

商を出すには、もとの式から余りを引いて $(x - 2)^{2}$ で割ります。

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 - (4 x - 5) = x^{3} - 2 x^{2} - 4 x + 8$

これを $x^{2} - 4 x + 4$ で割ると $x + 2$ 。まとめると次の形になります。

$x^{3} - 2 x^{2} + 3 = (x - 2)^{2} (x + 2) + 4 x - 5$

例：余りが与えられて係数を決める

$x^{3} + a x + b$ を $(x - 2)^{2}$ で割った余りが $3 x - 4$ になる $a$ と $b$ を求めます。

余りは $f^{'} (2) (x - 2) + f (2)$ の形です。傾きを比べて $f^{'} (2) = 3$ 。

$f^{'} (x) = 3 x^{2} + a$ なので $12 + a = 3$ から $a = - 9$ です。

$x = 2$ を余りに入れると $6 - 4 = 2$ なので $f (2) = 2$ 。 $8 - 18 + b = 2$ から $b = 12$ 。

$f (x) = x^{3} - 9 x + 12$ を確かめます。 $f (2) = 8 - 18 + 12 = 2$ 、 $f^{'} (2) = 12 - 9 = 3$ 。余りは $3 (x - 2) + 2 = 3 x - 4$ で合っています。

余りを比べるときは、 $x = a$ での値と傾きに分けて読む。

$p x + q$ の $p$ と $q$ を直接比べてもよいが、 $f (a)$ と $f^{'} (a)$ に直すほうが式が短い。

$x^{6}$ を $(x - 1)^{2}$ で割った余りはどれですか。

$6 x - 5$
$6 x - 1$
$x - 1$

__RESULT__

$f (1) = 1$ 、 $f^{'} (x) = 6 x^{5}$ から $f^{'} (1) = 6$ です。余りは $6 (x - 1) + 1 = 6 x - 5$ になります。 $x = 1$ を入れると $1$ になり、 $f (1)$ と一致します。

割り切れる条件も確かめます。

$x^{4} + a x + b$ が $(x + 1)^{2}$ で割り切れるときの $a$ はいくつですか。

$4$
$- 4$
$1$

__RESULT__

$f (- 1) = 1 - a + b = 0$ と $f^{'} (- 1) = - 4 + a = 0$ が条件です。後者から $a = 4$ 、前者から $b = 3$ 。 $x^{4} + 4 x + 3 = (x + 1)^{2} (x^{2} - 2 x + 3)$ になります。

割り算の余りと接線が同じものだった。剰余の定理に微分を 1 つ足すと、 $2$ 乗で割る場合まで届きます。

出典

3.3 Differentiation Rules. Calculus Volume 1, OpenStax.

Derivative. Encyclopedia of Mathematics.

Nombre dérivé – Fonction dérivée. Maths-Cours.fr.

$x^4$ を $(x-1)^2$ で割った余りは $4x - 3$ で、これは $x = 1$ における接線の式と同じです。余りを $px + q$ とおいて代入すると $f(a) = pa + q$、両辺を微分してから代入すると $p = f'(a)$ が出るためです。だから余りは $f'(a)(x-a) + f(a)$。$x^{10}$ でも代入 2 回で $10x - 9$ と分かります。余りが $0$ になる条件は $f(a) = 0$ かつ $f'(a) = 0$ で、重解の条件そのもの。余りから係数を逆算する例も入れました。