ハウスドルフ空間とはなにか

ハウスドルフ空間（Hausdorff space）は、位相空間論における重要な分離公理の一つです。異なる 2 点を互いに交わらない開集合で分離できる性質を持つ空間として定義されます。

具体的には、位相空間 $X$ がハウスドルフ空間であるとは、$X$ の任意の異なる 2 点 $x,y$ に対して、$x$ を含む開集合 $U$ と $y$ を含む開集合 $V$ が存在して、$U\cap V=\varnothing$ となることです。

ハウスドルフ空間の例

身近な数学的空間の多くはハウスドルフ空間です。

これらの空間では、異なる 2 点間の距離が正であることから、適当な半径の開球で 2 点を分離できます。

ハウスドルフでない空間の例

一方、ハウスドルフでない位相空間も存在します。

密着位相を持つ空間は、開集合が空集合と全体集合しかないため、2 点以上ある場合はハウスドルフではありません。また、Zariski 位相を持つアフィン空間も、開集合が疎であるためハウスドルフ性を満たしません。

ハウスドルフ空間の重要な性質

ハウスドルフ空間では、解析学において重要ないくつかの性質が成り立ちます。

特に、極限の一意性はハウスドルフ空間の最も重要な特徴です。ハウスドルフでない空間では、同じ点列が複数の異なる点に収束する可能性があります。

コンパクトハウスドルフ空間

コンパクト性とハウスドルフ性を同時に満たす空間は、位相空間論において特別な役割を果たします。

この事実により、コンパクトハウスドルフ空間では Urysohn の補題や Tietze の拡張定理などの強力な結果が適用できます。