ツォルンの補題について

ツォルンの補題は選択公理と同値で、「無限集合の極大元」を保証する定理です。可換環における極大イデアルの存在もツォルンの補題によって証明されます。

ツォルンの補題
半順序集合 $(X,\le )$ において、$X$ が帰納的であるならば、$X$ は極大元を持つ。

難しい単語を一つずつ整理します。

半順序集合（はんじゅんじょしゅうごう、partially ordered set）とは、集合に「順序関係」の一種が定義された数学的構造です。しばしば poset（ポーセット）と略されます。

\section{定義}

集合 $X$ と二項関係 $\le$ の組 $(X,\le )$ が半順序集合であるとは、すべての $a,b,c\in X$ に対して以下の3つの条件を満たすことです：

\subsection{1. 反射性（Reflexivity）}

$$a\le a$$

すべての元は自分自身と同じかそれ以下である。

\subsection{2. 反対称性（Antisymmetry）}

$$a\le b\text{ かつ }b\le a\Rightarrow a=b$$

互いに順序関係にある異なる2つの元は存在しない。

\subsection{3. 推移性（Transitivity）}

$$a\le b\text{ かつ }b\le c\Rightarrow a\le c$$

全ての線型空間は基底を持つ。これは線型代数における成果であり、ツォルンの補題と同値である。

その他の重要な応用として、すべての可換環は極大イデアルを持つことや、チコノフの定理（位相空間論）、ベクトル空間の基底の存在などがあります。

\textbf{帰納的（inductive）}：
半順序集合 $X$ が帰納的であるとは、任意の全順序部分集合 $A\subseteq X$ が $X$ 内に上界を持つことです。

\textbf{上界（upper bound）}：
$u\in X$ が $A$ の上界であるとは、すべての $a\in A$ に対して $a\le u$ が成り立つことです。

\textbf{極大元（maximal element）}：
$m\in X$ が極大元であるとは、すべての $x\in X$ に対して、$m\le x$ ならば $m=x$ が成り立つことです。