複素数の三角不等式（和の絶対値が膨らまない仕組み）

複素数 $\alpha$, $\beta$ を足したとき、和の絶対値はそれぞれの絶対値の和を超えません。

$$|\alpha +\beta |\le |\alpha |+|\beta |$$

三角不等式と呼ばれる関係で、三角形の 2 辺の長さの和が残りの 1 辺より短くならない、という事実がそのまま式になっています。

複素数平面に置くと意味がはっきりする。$\alpha$ を原点から矢印で伸ばし、その先端から $\beta$ を継ぐと、継いだ先が $\alpha +\beta$ です。原点からその先端まで、まっすぐ引いた線より短い道はない。

$\beta$ の向きが変わっても、先端は $\alpha$ を中心とする半径 $|\beta |$ の円をなぞります。原点から最も遠くなるのは、$\alpha$ と $\beta$ が同じ向きに並んだ瞬間。

展開して押さえる

図で納得できても、式で確かめておくと応用が利きます。絶対値は 2 乗して $|z{|}^2=z\bar{z}$ に直すと扱いやすくなる。

$$\begin{array}{rl}|\alpha +\beta {|}^2& =(\alpha +\beta )(\bar{\alpha }+\bar{\beta })\\ & =|\alpha {|}^2+\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta +|\beta {|}^2\end{array}$$

真ん中の 2 項は互いに共役なので、足すと実部の 2 倍になります。

$$\alpha \bar{\beta }+\bar{\alpha }\beta =2\mathrm{Re}(\alpha \bar{\beta })$$

実部が絶対値を超えることはありません。$\mathrm{Re}(w)\le |w|$ は、どんな複素数でも成り立つ関係です。これと $|\alpha \bar{\beta }|=|\alpha ||\beta |$ を合わせると次の形になる。

$$|\alpha +\beta {|}^2\le |\alpha {|}^2+2|\alpha ||\beta |+|\beta {|}^2=(|\alpha |+|\beta |{)}^2$$

両辺とも $0$ 以上なので、平方根をとって三角不等式が出ます。

上のバーが $|\alpha |+|\beta |$、下のバーが $|\alpha +\beta |$ です。$\alpha$ と $\beta$ の角度差を $0$ から $\pi$ まで開いていくと、下のバーだけが縮んでいく。

等号が立つ場面

証明でゆるめたのは $\mathrm{Re}(\alpha \bar{\beta })\le |\alpha \bar{\beta }|$ の 1 か所だけです。ここが等号になるのは、$\alpha \bar{\beta }$ が $0$ 以上の実数のとき。

$\alpha \ne 0$ として $\alpha \bar{\beta }=t$（$t\ge 0$ の実数）とおくと、$\bar{\beta }=t/\alpha$ から次が出ます。

$$\beta =\frac{t}{\bar{\alpha }}=\frac{t}{|\alpha {|}^2}\alpha$$

$\beta$ は $\alpha$ の $0$ 以上の実数倍。2 本の矢印が同じ向きを指す状況です。逆にこのとき等号が成り立つことは、代入すれば確かめられる。

数を入れて確かめる

$\alpha =3+4i$, $\beta =1-2i$ で両側を見てみます。$|\alpha |=5$, $|\beta |=\sqrt{5}$、和は $\alpha +\beta =4+2i$ なので $|\alpha +\beta |=2\sqrt{5}$。

上限がおよそ $7.24$、下限がおよそ $2.76$、実際の値はおよそ $4.47$ です。きちんと間に収まっている。

向きをそろえた $\beta =2\alpha =6+8i$ なら $\alpha +\beta =9+12i$ で絶対値は $15$、いっぽう $|\alpha |+|\beta |=5+10=15$ になります。等号が立つ場面。

下から押さえる

上限があれば下限も気になります。三角不等式を裏返すと、こちらが出る。

$$||\alpha |-|\beta ||\le |\alpha +\beta |$$

導き方は使い回しです。$\alpha =(\alpha +\beta )-\beta$ と見て三角不等式を当てると $|\alpha |\le |\alpha +\beta |+|\beta |$、つまり $|\alpha |-|\beta |\le |\alpha +\beta |$ になります。

$\alpha$ と $\beta$ を入れ替えれば $|\beta |-|\alpha |\le |\alpha +\beta |$ も同じように出る。2 つ合わせて絶対値の形にまとまります。

等号は向きが正反対のとき。さきほどのバーがいちばん短くなった瞬間が、この下限に触れた場面です。

3 つ以上に伸ばす

項が増えても形は変わりません。

$$|{\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n|\le |{\alpha }_1|+|{\alpha }_2|+\cdots +|{\alpha }_n|$$

2 項の場合を繰り返し当てるだけで示せる。図に直すと、折れ線でたどった道のりと、出発点から到着点へまっすぐ引いた距離の比較になります。

同じ速さで走り出しても、まっすぐ進んだ点のほうが先に着きます。寄り道の合計が $\sum |{\alpha }_k|$、直線距離が $|\sum {\alpha }_k|$ にあたる。下の 2 本のバーが、その差の広がり方です。

級数を押さえる道具になる

三角不等式がいちばん働くのは、無限に足す場面です。各項の絶対値の和が収束していれば、もとの級数も収束する。複素数の級数を扱うときの土台になります。

たとえば $|{\alpha }_k|\le r^k$（$0<r<1$）と押さえられれば、部分和どうしの差が等比数列で抑えられ、収束が言えます。図形の話に見えて、極限の議論を支えているのがこの不等式。