虚数解は 1 つだけでは現れない - 実数係数がつくる対

係数がすべて実数の方程式では、$1+2i$ が解なら $1-2i$ も解になる^[1]。

虚数解は 1 つだけでは現れない。かならず共役の相手を連れてくる。

共役をとっても式が壊れない

$P(z)=a_n{z}^n+\cdots +a_{1}z+a_0$ とし、係数はすべて実数とする。$P(\zeta )=0$ をみたす $\zeta$ をとる。

両辺の共役をとる。共役は和と積を素通りするので、各項へばらばらに入っていく^[2]。

$$\overline{P(\zeta )}=\overline{a_n}{\overline{\zeta }}^n+\cdots +\overline{a_1}\overline{\zeta }+\overline{a_0}$$

ここで係数が実数なので $\overline{a_r}=a_r$ に戻る。右辺は $P(\overline{\zeta })$ そのものになる。

$$P(\overline{\zeta })=\overline{P(\zeta )}=\overline{0}=0$$

$\overline{\zeta }$ も解である。使ったのは「係数が実数」の一点だけ^[1]。

解は実軸に関して対称に並ぶ

共役をとる操作は、実軸で折り返す操作だった。解の集合が折り返しで自分に戻る、という形になる。

実軸の上に乗った解は動かない。実数解だけが、相手なしで単独に存在できる。

例：$z^2-2z+5=0$

解の公式に入れると、根号の中が $4-20=-16$ になる。

$$z=\frac{2\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{2\pm 4i}{2}=1\pm 2i$$

$1+2i$ と $1-2i$。実部が同じで虚部の符号だけが違い、共役の対になっている。

例：3 次方程式で残りを出す

$z^3-5z^2+17z-13=0$ が $2+3i$ を解にもつとする。係数はすべて実数である。

共役の $2-3i$ も解になる。この 2 つを掛け合わせると、実数係数の 2 次式が出てくる。

$$(z-(2+3i))(z-(2-3i))=z^2-4z+13$$

もとの 3 次式をこれで割ると $z-1$ が残る。3 つ目の解は $z=1$ である。

代入すると $1-5+17-13=0$。虚数解が 1 つ与えられただけで、残りが全部決まった。

奇数次には実数解がある

$n$ 次方程式の解は重複を数えて $n$ 個ある。虚数解は 2 個ずつの組になるので、その総数はかならず偶数になる。

$n$ が奇数なら、偶数を引いた残りは奇数。$0$ にはならないので、実数解が少なくとも 1 つ残る^[3]。

3 次方程式が実数解を必ずもつのは、この理由による。グラフが必ず $x$ 軸を横切ることとも一致する。

例：4 次方程式

偶数次では実数解が 1 つもない場合がありうる。$z^4+1=0$ がその例である。

解は絶対値 $1$、偏角 $45^{\circ }$、$135^{\circ }$、$225^{\circ }$、$315^{\circ }$ の 4 つ。どれも実軸から外れている。

上半分の 2 つと下半分の 2 つが、実軸をはさんで対になっている。組が 2 つで、余りは出ない。

実数の範囲で分解できる

共役の対 $\zeta$ と $\overline{\zeta }$ を掛けると、次の式になる。

$$(z-\zeta )(z-\overline{\zeta })=z^2-(\zeta +\overline{\zeta })z+\zeta \overline{\zeta }$$

$\zeta +\overline{\zeta }$ は実部の 2 倍、$\zeta \overline{\zeta }$ は絶対値の 2 乗。どちらも実数である。

だから実数係数の多項式は、実数係数の 1 次式と 2 次式だけの積に分解できる^[3]。3 次以上の実数係数の既約な因数は存在しない^[4]。

例：$z^4+1$ を分解する

上の 4 解を、上下の対でまとめる。$45^{\circ }$ と $315^{\circ }$ の組、$135^{\circ }$ と $225^{\circ }$ の組である。

$$z^4+1=(z^2-\sqrt{2}z+1)(z^2+\sqrt{2}z+1)$$

展開すると $(z^2+1{)}^2-2z^2=z^4+2z^2+1-2z^2$ となり、確かに $z^4+1$ に戻る。

1 次式では書けないのに、2 次式なら実数係数で書ける。虚数解が対になっている効果が、そのまま形に出ている。

例：重複度もそろう

$\zeta$ が $m$ 重解なら、$\overline{\zeta }$ も $m$ 重解になる^[4]。

$(z^2+1{)}^2=z^4+2z^2+1$ では、$i$ と $-i$ がどちらも 2 重解である。片方だけ重なることはない。

分解した形が $((z-i)(z+i){)}^2$ なので、両方に同じ指数が付く。

例：係数が複素数だと崩れる

$z^2-(1+i)z+i=0$ を解く。因数分解すると $(z-1)(z-i)=0$ である。

解は $1$ と $i$。$i$ の共役 $-i$ を代入すると $-1+i-1+i=-2+2i$ となり、$0$ にならない。

係数に $i$ が混じった時点で、共役をとる操作が式を保たなくなる。定理が実数係数を要求する理由がここにある。

例：解と係数の関係で確かめる

$1+2i$ と $1-2i$ を解にもつ 2 次方程式をつくる。和は $2$、積は $1+4=5$ である。

$$z^2-2z+5=0$$

どちらも実数になり、実数係数の方程式が組み上がった。虚部が打ち消し合うため、対にすると係数がかならず実数へ落ちる。

まちがえやすい点

共役が和と積を素通りする。その一点だけで、解の並びに実軸対称という強い制限がかかる。

参考