複素数平面で直線を式に書く、単位円の接線の出し方

複素数平面の直線は、$z$ と $\bar{z}$ の 1 次式で書けます。$\alpha$ と $\beta$ を通る直線なら次の形です。

$$(\bar{\beta }-\bar{\alpha })z-(\beta -\alpha )\bar{z}=\alpha \bar{\beta }-\bar{\alpha }\beta$$

$z$ だけでは書けません。共役が入って初めて直線になります。

実数になる条件から作る

点 $z$ が $\alpha$ と $\beta$ を通る直線の上にあるのは、$\frac{z-\alpha }{\beta -\alpha }$ が実数のときです^[1]。

実数の条件は $w=\bar{w}$ でした。分母を払って整理します。

$$\begin{array}{rl}\frac{z-\alpha }{\beta -\alpha }& =\frac{\bar{z}-\bar{\alpha }}{\bar{\beta }-\bar{\alpha }}\\ (z-\alpha )(\bar{\beta }-\bar{\alpha })& =(\bar{z}-\bar{\alpha })(\beta -\alpha )\end{array}$$

$z$ と $\bar{z}$ について整理すると、冒頭の式が出ます。右辺の $\alpha \bar{\beta }-\bar{\alpha }\beta$ は純虚数で、左辺も純虚数になります。

例：$1$ と $2+i$ を通る直線

$\bar{\beta }-\bar{\alpha }=(2-i)-1=1-i$、$\beta -\alpha =1+i$ です。

右辺は $1\cdot (2-i)-1\cdot (2+i)=-2i$ になります。

$$(1-i)z-(1+i)\bar{z}=-2i$$

$z=1$ を入れると $(1-i)-(1+i)=-2i$ で成り立ちます。$z=3+2i$ でも $(5-i)-(5+i)=-2i$ となり、確かに同じ直線の上に乗る。

単位円上の弦は短くなる

$\alpha$ と $\beta$ が単位円の上にあると、$\bar{\alpha }=\frac{1}{\alpha }$、$\bar{\beta }=\frac{1}{\beta }$ が使えます^[1]。

これを入れて $\alpha \beta$ を掛け、共通因子の $\alpha -\beta$ で割ると、式が一気に短くなります。

$$z+\alpha \beta \bar{z}=\alpha +\beta$$

係数が 3 つとも $\alpha$ と $\beta$ だけで書けました。単位円にのせる置き方が効く場面です。

例：弦の式を確かめる

$\alpha =1$、$\beta =i$ とします。$\alpha \beta =i$、$\alpha +\beta =1+i$ です。

$$z+i\bar{z}=1+i$$

$z=1$ なら $1+i=1+i$ で成り立ちます。$z=i$ なら $i+i(-i)=i+1$ で、こちらも成り立つ。

中点の $\frac{1+i}{2}$ を入れると $\frac{1+i}{2}+i\frac{1-i}{2}=\frac{1+i+i+1}{2}=1+i$。線分の内部の点も同じ式をみたします。

接線は弦の極限

$\beta$ を $\alpha$ へ近づけると、弦は接線に近づきます。式のほうも $\beta =\alpha$ を入れるだけ。

$$z+{\alpha }^2\bar{z}=2\alpha$$

$\alpha$ における単位円の接線です。2 点で切っていた直線が、1 点で触れる直線に変わりました^[3]。

例：$1$ における接線

$\alpha =1$ を入れます。${\alpha }^2=1$、$2\alpha =2$ です。

$$z+\bar{z}=2$$

$z+\bar{z}=2\mathrm{Re}(z)$ なので、実部が $1$ の点の集合。実軸に垂直な直線です。

接点 $1$ を通り、半径である実軸と直角に交わっています。接線が半径と直角になるという性質が、式の形に出ました。

例：$i$ における接線

$\alpha =i$ なら ${\alpha }^2=-1$、$2\alpha =2i$ です。

$$z-\bar{z}=2i$$

$z-\bar{z}=2i\mathrm{Im}(z)$ なので、虚部が $1$ の点の集合。実軸に平行な直線になります。

こちらも接点 $i$ を通り、半径である虚軸と直角です。

例：2 本の接線が交わる点

$\alpha$ と $\beta$ における接線の交点は、次の形になります^[1]。

$$\frac{2\alpha \beta }{\alpha +\beta }$$

$\alpha =1$、$\beta =i$ で試します。$\frac{2i}{1+i}=\frac{2i(1-i)}{2}=i(1-i)=1+i$ です。

さきほどの 2 本は $\mathrm{Re}(z)=1$ と $\mathrm{Im}(z)=1$ でした。交点は $1+i$ で一致します。

$\alpha +\beta =0$、つまり $\beta$ が $\alpha$ の反対側にあるときは分母が $0$ です。2 本の接線が平行になり、交わりません。

例：外部の点から引く接線

逆に、円の外の点 $p$ から単位円へ接線を引くこともできます。接点は 2 つあり、長さの等しい 2 本が引けます^[3]。

$p=1+i$ から引くなら、接点は $1$ と $i$ です。$|1+i-1|=1$、$|1+i-i|=1$ で、確かに長さがそろっています。

交点の式 $\frac{2\alpha \beta }{\alpha +\beta }$ を $\alpha$、$\beta$ について解くと接点が出ます。行きと帰りが同じ式で結ばれている。

要点

直線は $z$ と $\bar{z}$ の 1 次式で書けます。共役が入らないと直線になりません^[2]。

単位円にのせると、弦が $z+\alpha \beta \bar{z}=\alpha +\beta$、接線が $z+{\alpha }^2\bar{z}=2\alpha$ という短い形になります。

接線は弦で $\beta =\alpha$ とした極限です。別々の公式ではなく、1 つの式の特別な場合。

2 本の接線の交点も $\alpha$ と $\beta$ だけで書け、$\alpha +\beta =0$ のときだけ交わらない。分母が $0$ になる場面が、平行という図形の言葉に対応しています。

出典