単位円の内と外がひっくり返る - 反転変換 w = 1/z

$w=\frac{1}{z}$ は、絶対値を逆数にして偏角の符号を変える対応です。

$$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$$

$|w|=\frac{1}{|z|}$、$\arg w=-\arg z$。単位円の内側にあった点は外へ、外にあった点は内へ移ります。

2 つの動きが重なっている

$\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$ を 2 段に分けて読みます。まず $\frac{z}{|z{|}^2}$ を作り、そのあと共役をとる形です。

$\frac{z}{|z{|}^2}$ は偏角がそのままで、原点からの距離だけが逆数になります。単位円に関する反転と呼ばれる動きです^[1]。

反転では、原点からの距離の積が半径の $2$ 乗になります。単位円なら $|z|\times |w|=1$ という関係です^[1]。

そのあと共役をとると、実軸で折り返されます。$\frac{1}{z}$ はこの 2 つを続けた対応になっている。

例：具体的な点で見る

$z=2$ なら $w=\frac{1}{2}$ です。実軸の上なので折り返しは効きません。

$z=2i$ なら $w=\frac{1}{2i}=-\frac{i}{2}$。距離が半分になり、実軸をまたいで下へ移りました。

$z=1+i$ では $|z|=\sqrt{2}$ なので $|w|=\frac{1}{\sqrt{2}}$。$w=\frac{1-i}{2}$ で、偏角が $45^{\circ }$ から $-45^{\circ }$ に変わります。

円と直線が入れかわる

$\frac{1}{z}$ では、円が円か直線に写ります^[1]。分かれ目は、もとの円が原点を通るかどうか。

原点を通る円は直線になります。原点は $\frac{1}{z}$ で無限に遠くへ飛ぶので、閉じた曲線でいられなくなる。

原点を通らない円は円のまま。原点を通る直線は自分自身に写り、原点を通らない直線は原点を通る円になります。

「円と直線をあわせて 1 つの仲間」と見ると、$\frac{1}{z}$ はその仲間を仲間に写す対応だと言えます^[3]。

例：原点を通る円

$|z-1|=1$ を考えます。両辺を $2$ 乗して開くと $z\bar{z}-z-\bar{z}=0$ です。

$z=\frac{1}{w}$ を代入し、$w\bar{w}$ を掛けます。

$$1-\bar{w}-w=0$$

$w+\bar{w}=1$、つまり実部が $\frac{1}{2}$ の直線になりました。円が直線に化けています。

$z=2$ は $w=\frac{1}{2}$ へ、$z=1+i$ は $w=\frac{1-i}{2}$ へ移ります。どちらも実部が $\frac{1}{2}$ です。

例：原点を通らない円

$|z-2|=1$ なら $z\bar{z}-2z-2\bar{z}+3=0$ です。同じように代入して $w\bar{w}$ を掛けます。

$$1-2\bar{w}-2w+3w\bar{w}=0$$

$w=x+yi$ を入れると $3(x^2+y^2)-4x+1=0$。両辺を $3$ で割って平方完成します。

$${\left(x-\frac{2}{3}\right)}^2+y^2=\frac{1}{9}$$

中心 $\frac{2}{3}$、半径 $\frac{1}{3}$ の円です。$z=1$ は $w=1$ へ、$z=3$ は $w=\frac{1}{3}$ へ移り、どちらも新しい円の上に乗ります。

例：単位円は動かない

$|z|=1$ なら $|w|=1$ です。像も単位円の上に乗ります。

このとき $\frac{1}{z}=\bar{z}$ なので、点は実軸で折り返された位置へ移ります。円全体としては同じ場所に残る^[1]。

動かない点は $z=\bar{z}$ をみたす点、つまり $1$ と $-1$ の 2 つです。

例：$|z|=2$ の像

$|w|=\frac{1}{2}$ になります。半径 $2$ の円が半径 $\frac{1}{2}$ の円へ縮む。

中心はどちらも原点です。原点を中心とする円は、原点を中心とする円に写ります。

半径 $r$ と半径 $\frac{1}{r}$ が入れかわるので、$r=1$ だけが自分と組になる。単位円が境目になっている理由です。

検算のしかた

もとの点と像で、原点からの距離を掛けます。$1$ になっていれば反転の部分は合っています^[1]。

偏角のほうは符号だけを見ます。$z$ が上半分にあれば像は下半分に来るはずです。

像が円になったときは、もとの円が原点を通っていないかを確かめる。通っているのに円が出たなら、代入のどこかで項を落としています。

$\frac{1}{z}$ は距離をひっくり返し、実軸で折り返す。この 2 段に分けておけば、円が直線に化ける場面も驚かずに追えます。

参考