回転と拡大をくり返す点は渦を巻いて 1 点に落ちる

$z_{n+1}=\alpha z_n+\beta$ は、点を回して伸ばして、ずらす操作をくり返す漸化式です。

$\alpha \ne 1$ なら、動かない点が 1 つあります^[3]。

$$c=\frac{\beta }{1-\alpha }$$

この $c$ を引くと、漸化式が等比数列に変わります。

不動点を引くと等比になる

$c=\alpha c+\beta$ が成り立つので、$\beta =c-\alpha c$ です。これを漸化式へ入れます。

$$\begin{array}{rl}{z}_{n+1}-c& =\alpha z_n+c-\alpha c-c\\ & =\alpha (z_n-c)\end{array}$$

$z_n-c$ が公比 $\alpha$ の等比数列になりました。一般項は次の形です^[2]。

$$z_n-c={\alpha }^n(z_0-c)$$

$c$ から見た矢印が、毎回 $\alpha$ 倍されていく。回転と拡大が積み重なる形です。

$|\alpha |$ が行き先を決める

${\alpha }^n$ の絶対値は $|\alpha {|}^n$ です。$n$ を大きくしたときの様子が、$|\alpha |$ の大小で 3 つに分かれます^[1]。

$|\alpha |<1$ なら $|\alpha {|}^n\to 0$ なので、$z_n$ は $c$ へ近づきます。偏角のほうは毎回同じだけ回るので、渦を巻きながら落ちる。

$|\alpha |=1$ なら距離が変わりません。$c$ を中心とする半径 $|z_0-c|$ の円の上を、ぐるぐる回り続けます。

$|\alpha |>1$ なら距離が増え続け、外へ広がって発散します。

例：$\alpha =\frac{1+i}{2}$ の場合

$\beta =1$、$z_0=0$ とします。まず不動点を出します。

$$c=\frac{1}{1-\frac{1+i}{2}}=\frac{2}{1-i}=1+i$$

$|\alpha |=\frac{\sqrt{2}}{2}$ で $1$ より小さい。$z_n$ は $1+i$ へ近づきます。

一般項は $z_n=(1+i)(1-{\alpha }^n)$ です。$z_1=1$、$z_2=\frac{3+i}{2}$ と続きます。

漸化式に直接入れても $z_1=1$、$z_2=\frac{1+i}{2}+1=\frac{3+i}{2}$ で一致しました。

例：極限を出す

$|\alpha |<1$ なら ${\alpha }^n\to 0$ です^[1]。一般項の右辺で ${\alpha }^n$ が消えます。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{z}_n=c=1+i$$

不動点そのものが極限になります。$z_0$ をどこにとっても同じ点へ落ちる。

近づき方は $|\alpha |$ で決まります。$|\alpha |$ が $1$ に近いほど、渦が細かく巻いてゆっくり寄る。

例：$\alpha$ の絶対値が $1$ のとき

$\alpha =i$、$\beta =1$、$z_0=0$ をとります。不動点は $c=\frac{1}{1-i}=\frac{1+i}{2}$ です。

$z_n-c=i^n(0-c)$ で、$i^n$ が $4$ 回で一周します。$z_n$ は $4$ 個の点をくり返す。

実際に $0$、$1$、$1+i$、$i$、$0$ と戻ります。$c$ からの距離はどれも $\frac{\sqrt{2}}{2}$ で、正方形の頂点に並ぶ。

$\alpha$ の偏角が $360^{\circ }$ の有理数倍なら周期があり、無理数倍なら円周上を埋めていきます。

例：$\alpha =1$ で不動点が消える

$\alpha =1$ では $c=\frac{\beta }{0}$ が計算できません。動かない点がないためです。

このとき漸化式は $z_{n+1}=z_n+\beta$ で、等差数列になります。

$$z_n=z_0+n\beta$$

$\beta$ の向きへ等間隔に進み続ける。渦ではなく直線の上を動きます。$\beta =0$ なら全部の点が動きません。

まとめ

不動点を引くと、$z_{n+1}=\alpha z_n+\beta$ は等比数列に化けます。$c$ から見た矢印が毎回 $\alpha$ 倍される形です。

$\alpha$ の絶対値が行き先を決めます。$1$ より小さければ収束、等しければ円の上、大きければ発散。

$\alpha$ の偏角は回り方を決めます。渦の巻き方の細かさや、周期があるかどうかがここから出る。

$\alpha =1$ だけが例外で、不動点を持たず直線の上を進みます。分母の $1-\alpha$ が $0$ になる場面が、そのまま図形の言葉になっている。

参考文献