3+4i のルートを手で求める - 複素数の平方根はどこから来るのか

$3+4i$ の平方根は $2+i$ と $-2-i$ です。$(2+i{)}^2=4+4i+i^2=3+4i$ で戻ります。

$0$ でない複素数には、平方根がかならず 2 つあります^[2]。原点をはさんで反対側に並ぶ 2 点です。

2 乗して等しくなる数を探す

$w=a+bi$ とおいて 2 乗します。$a$ と $b$ は実数です。

$$w^2=a^2-b^2+2abi$$

これが $3+4i$ に等しいので、実部と虚部を突き合わせる。

$$a^2-b^2=3,2ab=4$$

2 本の式が出ました。ここから $b=\frac{2}{a}$ を代入すると 4 次式になり、手間が増えます。

絶対値をもう 1 本足す

両辺の絶対値をとると、式がもう 1 本増えます。$|w^2|=|w{|}^2=a^2+b^2$ なので、次が成り立つ。

$$a^2+b^2=|3+4i|=5$$

$a^2-b^2=3$ と足し引きすれば、$a^2=4$、$b^2=1$ とすぐ出ます^[1]。4 次式を通らずに済む。

一般には $a^2=\frac{|z|+x}{2}$、$b^2=\frac{|z|-x}{2}$ という形になります^[2]。$z=x+yi$ としたときの公式です。

符号は $2ab$ で決める

$a^2=4$、$b^2=1$ から $a=\pm 2$、$b=\pm 1$ の 4 通りが候補になります。

$2ab=4>0$ なので $a$ と $b$ は同じ符号。$(2,1)$ と $(-2,-1)$ の 2 通りだけが残ります^[3]。

答えは $\pm (2+i)$ です。候補を 4 つ出してから 2 つに絞る流れになる。

例：$-8+6i$ の平方根

$a^2-b^2=-8$、$2ab=6$ です。絶対値は $|-8+6i|=\sqrt{64+36}=10$。

$a^2+b^2=10$ と足し引きして $a^2=1$、$b^2=9$ になります。

$2ab=6>0$ なので同符号。答えは $\pm (1+3i)$ です。$(1+3i{)}^2=1+6i-9=-8+6i$ で戻ります。

例：$i$ の平方根

$a^2-b^2=0$、$2ab=1$、$a^2+b^2=|i|=1$ です。

足して $a^2=\frac{1}{2}$、引いて $b^2=\frac{1}{2}$ になります。$2ab>0$ なので同符号。

$$\pm \left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$$

$i$ のような単純な数でも、平方根は無理数を含みます。$45^{\circ }$ のところに乗るためです。

例：$2i$ の平方根

$a^2-b^2=0$、$2ab=2$、$a^2+b^2=2$ です。$a^2=b^2=1$ なので $a=b=\pm 1$。

答えは $\pm (1+i)$ になります。$(1+i{)}^2=1+2i-1=2i$ で戻る。

$i$ のときの分母が消えて、きれいな形になりました。$2$ 倍したぶんが $\sqrt{2}$ 倍になり、無理数が打ち消えている。

極形式で解く

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ と書けるなら、平方根は絶対値の平方根と、偏角の半分でつくれます^[2]。

$$\sqrt{r}\left(\cos \frac{\theta }{2}+i\sin \frac{\theta }{2}\right)$$

もう 1 つは、これに $-1$ を掛けたもの。偏角に $180^{\circ }$ を足した位置です^[4]。

角が半分になるので、$2$ 乗して元の角へ戻ります。絶対値のほうも $\sqrt{r}$ を 2 乗して $r$ に戻る。

例：極形式で $2i$ を解き直す

$2i=2(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })$ です。絶対値が $2$、偏角が $90^{\circ }$。

平方根は $\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$ になります。

$$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}i\right)=1+i$$

実部と虚部で解いた $\pm (1+i)$ と一致しました。角がきれいな値のときは、こちらが速い。

例：負の実数の平方根

$-9$ の平方根を求めます。$a^2-b^2=-9$、$2ab=0$ です。

$2ab=0$ なので $a=0$ か $b=0$。$b=0$ なら $a^2=-9$ となり実数解がないので、$a=0$ のほうを選びます。

$b^2=9$ から $\pm 3i$ です。負の実数だけは虚軸の上に乗るので、符号を $2ab$ から決められません^[3]。

例：2 次方程式で使う

$z^2-(3+i)z+2+2i=0$ を解きます。解の公式に入れると、判別式にあたる部分が出ます。

$(3+i{)}^2-4(2+2i)=9+6i-1-8-8i=-2i$ です。この平方根が要る。

$-2i$ の平方根は、$a^2-b^2=0$、$2ab=-2$、$a^2+b^2=2$ から $\pm (1-i)$。

$$z=\frac{(3+i)\pm (1-i)}{2}$$

$z=2$ と $z=1+i$ になります。代入すると両方とも成り立つ。

つまずきやすいところ

$a^2+b^2$ を絶対値から足す。この 1 手が入るだけで、平方根の計算はたし算と引き算だけで終わります。

参考文献