3+4i のルートを手で求める - 複素数の平方根はどこから来るのか

$3 + 4 i$ の平方根は $2 + i$ と $- 2 - i$ です。 $(2 + i)^{2} = 4 + 4 i + i^{2} = 3 + 4 i$ で戻ります。

$0$ でない複素数には、平方根がかならず 2 つあります^[2]。原点をはさんで反対側に並ぶ 2 点です。

2 乗して等しくなる数を探す

$w = a + bi$ とおいて 2 乗します。 $a$ と $b$ は実数です。

$w^{2} = a^{2} - b^{2} + 2 abi$

これが $3 + 4 i$ に等しいので、実部と虚部を突き合わせる。

$a^{2} - b^{2} = 3, 2 ab = 4$

2 本の式が出ました。ここから $b = \frac{2}{a}$ を代入すると 4 次式になり、手間が増えます。

絶対値をもう 1 本足す

両辺の絶対値をとると、式がもう 1 本増えます。 $∣ w^{2} ∣ = ∣ w ∣^{2} = a^{2} + b^{2}$ なので、次が成り立つ。

$a^{2} + b^{2} = ∣3 + 4 i ∣ = 5$

$a^{2} - b^{2} = 3$ と足し引きすれば、 $a^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 1$ とすぐ出ます^[1]。4 次式を通らずに済む。

一般には $a^{2} = \frac{∣ z ∣ + x}{2}$ 、 $b^{2} = \frac{∣ z ∣ - x}{2}$ という形になります^[2]。 $z = x + y i$ としたときの公式です。

絶対値の式を足すと楽になるのは、 $a^{2} + b^{2}$ と $a^{2} - b^{2}$ が同時に手に入るからです。

足せば $a^{2}$ 、引けば $b^{2}$ 。連立が 2 回のたし算で終わる。

符号は $2 ab$ で決める

$a^{2} = 4$ 、 $b^{2} = 1$ から $a = \pm 2$ 、 $b = \pm 1$ の 4 通りが候補になります。

$2 ab = 4 > 0$ なので $a$ と $b$ は同じ符号。 $(2, 1)$ と $(- 2, - 1)$ の 2 通りだけが残ります^[3]。

答えは $\pm (2 + i)$ です。候補を 4 つ出してから 2 つに絞る流れになる。

$a^{2} - b^{2}$ と $2 ab$ を書き出す

絶対値から $a^{2} + b^{2}$ を足す

$2 ab$ の符号で 2 つに絞る

例： $- 8 + 6 i$ の平方根

$a^{2} - b^{2} = - 8$ 、 $2 ab = 6$ です。絶対値は $∣ - 8 + 6 i ∣ = 64 + 36 = 10$ 。

$a^{2} + b^{2} = 10$ と足し引きして $a^{2} = 1$ 、 $b^{2} = 9$ になります。

$2 ab = 6 > 0$ なので同符号。答えは $\pm (1 + 3 i)$ です。 $(1 + 3 i)^{2} = 1 + 6 i - 9 = - 8 + 6 i$ で戻ります。

例： $i$ の平方根

$a^{2} - b^{2} = 0$ 、 $2 ab = 1$ 、 $a^{2} + b^{2} = ∣ i ∣ = 1$ です。

足して $a^{2} = \frac{1}{2}$ 、引いて $b^{2} = \frac{1}{2}$ になります。 $2 ab > 0$ なので同符号。

$\pm (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i) = \pm \frac{1 + i}{2}$

$i$ のような単純な数でも、平方根は無理数を含みます。 $4 5^{\circ}$ のところに乗るためです。

例： $2 i$ の平方根

$a^{2} - b^{2} = 0$ 、 $2 ab = 2$ 、 $a^{2} + b^{2} = 2$ です。 $a^{2} = b^{2} = 1$ なので $a = b = \pm 1$ 。

答えは $\pm (1 + i)$ になります。 $(1 + i)^{2} = 1 + 2 i - 1 = 2 i$ で戻る。

$i$ のときの分母が消えて、きれいな形になりました。 $2$ 倍したぶんが $2$ 倍になり、無理数が打ち消えている。

極形式で解く

$z = r (cos θ + i sin θ)$ と書けるなら、平方根は絶対値の平方根と、偏角の半分でつくれます^[2]。

$r (cos \frac{θ}{2} + i sin \frac{θ}{2})$

もう 1 つは、これに $- 1$ を掛けたもの。偏角に $18 0^{\circ}$ を足した位置です^[4]。

角が半分になるので、 $2$ 乗して元の角へ戻ります。絶対値のほうも $r$ を 2 乗して $r$ に戻る。

例：極形式で $2 i$ を解き直す

$2 i = 2 (cos 9 0^{\circ} + i sin 9 0^{\circ})$ です。絶対値が $2$ 、偏角が $9 0^{\circ}$ 。

平方根は $2 (cos 4 5^{\circ} + i sin 4 5^{\circ})$ になります。

$2 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} i) = 1 + i$

実部と虚部で解いた $\pm (1 + i)$ と一致しました。角がきれいな値のときは、こちらが速い。

例：負の実数の平方根

$- 9$ の平方根を求めます。 $a^{2} - b^{2} = - 9$ 、 $2 ab = 0$ です。

$2 ab = 0$ なので $a = 0$ か $b = 0$ 。 $b = 0$ なら $a^{2} = - 9$ となり実数解がないので、 $a = 0$ のほうを選びます。

$b^{2} = 9$ から $\pm 3 i$ です。負の実数だけは虚軸の上に乗るので、符号を $2 ab$ から決められません^[3]。

例：2 次方程式で使う

$z^{2} - (3 + i) z + 2 + 2 i = 0$ を解きます。解の公式に入れると、判別式にあたる部分が出ます。

$(3 + i)^{2} - 4 (2 + 2 i) = 9 + 6 i - 1 - 8 - 8 i = - 2 i$ です。この平方根が要る。

$- 2 i$ の平方根は、 $a^{2} - b^{2} = 0$ 、 $2 ab = - 2$ 、 $a^{2} + b^{2} = 2$ から $\pm (1 - i)$ 。

$z = \frac{( 3 + i ) \pm ( 1 - i )}{2}$

$z = 2$ と $z = 1 + i$ になります。代入すると両方とも成り立つ。

実部と虚部で解く	$a^{2} - b^{2}$ 、 $2 ab$ 、 $a^{2} + b^{2}$ の 3 本を使う
極形式で解く	絶対値の平方根と、偏角の半分をとる
向いている場面	前者は $a$ 、 $b$ が整数のとき。後者は角がきれいなとき

つまずきやすいところ

絶対値の式を立てずに代入で進める。4 次式になって手が止まります。

a^{2}

と

b^{2}

を出したところで終える。符号の組が 4 通り残っています。

2 ab

の符号を見ない。同符号か異符号かがここで決まります。

z w = z w

を実数と同じに使う。複素数では成り立たない場合があります。

$a^{2} + b^{2}$ を絶対値から足す。この 1 手が入るだけで、平方根の計算はたし算と引き算だけで終わります。

参考文献

Square root - Wikipedia

Quadratwurzel - Wikipedia

Racine carrée - Wikipédia

Nth root - Wikipedia

$w = a+bi$ とおいて 2 乗すると $a^2-b^2 = 3$ と $2ab = 4$ が出ますが、代入すると 4 次式になって手が止まります。そこで両辺の絶対値から $a^2+b^2 = 5$ をもう 1 本足すと、足し引きだけで $a^2 = 4$、$b^2 = 1$ が出る。残る 4 通りの符号は $2ab$ の正負で 2 つに絞れます。$-8+6i$、$i$、$2i$、$-9$ を順に解き、極形式なら絶対値の平方根と偏角の半分で済むことも見ました。$z^2-(3+i)z+2+2i=0$ の判別式にも同じ手が効く。