複素数の積は回転、実部はベクトルの内積

平面上の $1$ 点を書き表す道具が $2$ つあります。成分を並べたベクトル $(a, b)$ と、複素数 $a + bi$ 。

足し算も実数倍も、この $2$ つはまったく同じに動きます。 $(a_{1}, b_{1}) + (a_{2}, b_{2})$ と $(a_{1} + b_{1} i) + (a_{2} + b_{2} i)$ を比べれば、書き方が違うだけ。

分かれるのはその先です。複素数には掛け算があり、ベクトルには内積がある。どちらを使うかは、問題がどちらの演算を要求しているかで決まります。

掛け算があるのが複素数

複素数どうしの積は、絶対値を掛けて偏角を足す操作でした。つまり回転と拡大が積 $1$ つで書けます。

$w = z (cos θ + i sin θ)$

同じことをベクトルでやるには回転行列が要ります。

$(x^{'} y^{'}) = (cos θ sin θ - sin θ cos θ) (x y)$

動きは左右でぴったり重なります。書く量が違うだけ。回転が何度も重なる問題では、複素数のほうは指数の足し算に落ちるので差が広がります。

内積は実部に隠れている

では複素数に内積はないのか。あります。 $α = a_{1} + b_{1} i$ , $β = a_{2} + b_{2} i$ として $\overset{α}{ˉ} β$ を展開してみる。

$\overset{α}{ˉ} β = (a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2}) + i (a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1})$

実部がベクトルの内積そのもの。虚部は $2$ つのベクトルが張る平行四辺形の符号付き面積です。

太い横棒が $β$ を $α$ の向きへ落とした影で、その長さが $Re (\overset{α}{ˉ} β)$ にあたります。 $2$ 本が直角になった瞬間に影が消え、下のバーも $0$ を通る。

平行と垂直を 1 つの式で

内積と面積が実部と虚部に入っているので、条件も $1$ 本の式で書けます。

$\overset{α}{ˉ} β$ が実数	$α$ と $β$ は平行
$\overset{α}{ˉ} β$ が純虚数	$α$ と $β$ は垂直

$3$ 点 $α$ , $β$ , $γ$ が一直線に並ぶ条件が $\frac{γ - α}{β - α}$ が実数、直角になる条件がそれが純虚数、と書けるのも同じ理由です。割り算は $\overset{α}{ˉ} β$ の形と絶対値の $2$ 乗だけ違う。

正三角形の頂点は複素数が速い

$2$ 頂点 $α$ , $β$ が決まっているとき、正三角形の第 $3$ 頂点は $60$ 度の回転で出ます。

$γ = α + (β - α) (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3})$

$α$ を原点へ移し、回して、戻す。それだけです。

回す向きは $2$ 通りあるので、第 $3$ 頂点も上下に $1$ つずつ。同じことをベクトルでやると、成分をおいて長さと角度の条件を連立することになり、手数が増えます。

同じ問題を 2 通りで解く

$A (1, 2)$ と $B (4, 3)$ を $2$ 頂点とする正三角形の、残りの頂点を求めます。

複素数なら $α = 1 + 2 i$ , $β = 4 + 3 i$ とおくだけ。 $β - α = 3 + i$ を $60$ 度回して $α$ に戻します。

$γ = (1 + 2 i) + (3 + i) (\frac{1}{2} + \frac{3}{2} i)$

展開して整理すると $γ = \frac{5 - 3}{2} + \frac{5 + 3 3}{2} i$ 、つまり座標で $(\frac{5 - 3}{2}, \frac{5 + 3 3}{2})$ です。

ベクトルで解くなら、 $C (x, y)$ とおいて $AC = AB$ と $BC = AB$ の $2$ 式を立てます。どちらも $2$ 乗の形になるので、引き算で直線を作り、代入して $2$ 次方程式を解く流れ。

答えは同じですが、通る道の長さが違います。回転という操作が式に直接書ける複素数のほうが、この問題では短い。

ベクトルが強い場面

とはいえ複素数がいつも有利なわけではありません。空間の問題には複素数が使えない。 $3$ 次元の点は $a + bi$ の形に収まらないので、そこはベクトルの領分です。

内積そのものを主役にする問題も、ベクトルのほうが素直に書けます。 $a \cdot b = 0$ と書けば済むものを、わざわざ $Re (\overset{α}{ˉ} β) = 0$ と書き直す理由はありません。

成分計算が多い問題も同じ。連立方程式に持ち込むなら、最初から成分で持っておくほうが速い。

選び方はひとつの問いで決まる

回転が出てくるか。この一点で決めて、だいたい当たります。

回転、

n

乗、正多角形、角度の等式なら複素数。

内積、空間、成分の連立ならベクトル。

平面で回転が絡み、しかも角度が $60$ 度や $90$ 度のようにきれいなら、複素数へ移すと式が短くなる。逆に回転が出てこないなら、複素数に置きかえる利点はほとんどありません。

同じ図形を両方で解いてみると、どちらの道具がどこで効くかが体で分かります。手が余っているときに試す価値のある練習です。

平面の点はベクトルでも複素数でも書けて、足し算と実数倍までは同じもの。分かれるのはその先で、複素数には回転を積で表す掛け算があり、ベクトルには内積があります。じつは内積は Re(ᾱβ) に、平行四辺形の面積は虚部に隠れている。平行と垂直を 1 本の式で書き分け、正三角形の頂点を両方の道具で求めて、手数の差がどこから出るかを見ました。