オイラーの公式（指数関数が円を回りだす）

指数関数に虚数を入れると、値は円の上を回りだします。

$e^{i θ} = cos θ + i sin θ$

オイラーの公式です。左辺は指数関数、右辺は三角関数。まったく別の場所で育った 2 つが、虚数を挟んだだけで同じものになります。

$∣ e^{i θ} ∣ = cos^{2} θ + sin^{2} θ = 1$ なので、 $θ$ を動かしたときの $e^{i θ}$ は単位円の上だけを動く。 $θ$ は円周に沿って進んだ長さそのものです。

濃い横棒が実部の $cos θ$ 、縦棒が虚部の $sin θ$ 。円上の点を実軸と虚軸へ落とした影が、そのまま三角関数の値になります。

級数を突き合わせる

公式が出てくる筋道はいくつかありますが、いちばん見通しがよいのは級数です。 $e^{x}$ の展開に $x = i θ$ を入れる。

$e^{i θ} = 1 + i θ + \frac{( i θ ) ^{2}}{2 !} + \frac{( i θ ) ^{3}}{3 !} + \frac{( i θ ) ^{4}}{4 !} + \dots$

$i$ の累乗は $1, i, - 1, - i$ を繰り返すので、実数の項と $i$ の付く項が交互に並びます。実数だけを集めると

$1 - \frac{θ ^{2}}{2 !} + \frac{θ ^{4}}{4 !} - \dots = cos θ$

となり、 $i$ の付く項を集めると $sin θ$ の級数が出る。この 2 つを足し戻したものがオイラーの公式です^[3]。

項を継ぐたびに、折れ線が渦を巻きながら灰色の目標点へ寄っていきます。目標は $θ = 2.4$ に対応する単位円上の点。 $10$ 項ほどで見た目には重なります。

指数法則が加法定理になる

オイラーの公式のありがたみは、指数法則がそのまま使えるところです。

$e^{i (α + β)} = e^{i α} \cdot e^{i β}$

左辺は $cos (α + β) + i sin (α + β)$ 、右辺は $(cos α + i sin α) (cos β + i sin β)$ 。展開して実部と虚部を比べると、加法定理が $2$ 本まとめて出ます^[3]。

覚えにくい符号の並びが、指数の足し算 $1$ 本に化ける。三角関数の公式を指数の言葉へ翻訳する、という見方です。

累乗はド・モアブルになる

$n$ 乗も同じです。指数法則から

$(e^{i θ})^{n} = e^{in θ}$

で、これを三角関数に戻せば $(cos θ + i sin θ)^{n} = cos n θ + i sin n θ$ 。ド・モアブルの定理は、指数法則の言いかえだったことになります。

極形式が短くなる

絶対値 $r$ 、偏角 $θ$ の複素数は $r (cos θ + i sin θ)$ と書きますが、公式を使えば $r e^{i θ}$ の $4$ 文字で済みます。

$r_{1} e^{i θ_{1}} \cdot r_{2} e^{i θ_{2}} = r_{1} r_{2} e^{i (θ_{1} + θ_{2})}$

絶対値は掛け、偏角は足す。この規則が式の形にそのまま現れる。 $1$ の $n$ 乗根も $e^{2 π ik / n}$ と一列で書けます^[3]。

θ を π まで動かす

$θ = π$ を入れると、 $cos π = - 1$ , $sin π = 0$ なので $e^{iπ} = - 1$ 。移項すれば有名な形になります。

$e^{iπ} + 1 = 0$

点は円の上半分をたどって $- 1$ に着き、そこへ $1$ を足すと原点に落ちます。 $e$ , $i$ , $π$ , $1$ , $0$ が $1$ 本の式に並ぶ形。別々に定義された定数どうしが、こうして結びつきます。

微分でも同じ景色になる

$e^{i θ}$ を $θ$ で微分すると $i e^{i θ}$ 、つまりもとの値に $i$ を掛けたものです。 $i$ を掛けることは $90$ 度の回転なので、速度がつねに位置と直角を向く。

円運動そのものの言いかえです。実部と虚部を比べれば $(cos θ)^{'} = - sin θ$ , $(sin θ)^{'} = cos θ$ も同時に出ます^[3]。

だれが先に書いたか

対数の形でこの関係に触れたのはロジャー・コーツで、1714 年の論文 Logometria に $ln (cos θ + i sin θ) = i θ$ が現れます^[1]。

指数の形にまとめ、解析の体系へ組み込んだのがオイラーです。1748 年の Introductio in analysin infinitorum で $e^{i x} = cos x + i sin x$ を与えました^[2]。複素数を平面の点として描く見方が広まるのは、さらにあとになります。

参考文献

O'Connor J J, Robertson E F. Roger Cotes. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

O'Connor J J, Robertson E F. Leonhard Euler. MacTutor History of Mathematics Archive, University of St Andrews.

Deiser O. Einführung in die Mathematik 1.2 — Anwendungen der Eulerschen Formel. aleph1.

指数関数に虚数を入れると値は単位円の上を動きます。級数を突き合わせれば実部が cos、虚部が sin。指数法則はそのまま加法定理になり、n 乗はド・モアブルの定理に、極形式は re^{iθ} の 4 文字に縮みます。θ を π まで運ぶと e^{iπ} + 1 = 0。コーツが 1714 年に対数の形で触れ、オイラーが 1748 年に指数の形へまとめました。