オイラーの公式（指数関数が円を回りだす）

指数関数に虚数を入れると、値は円の上を回りだします。

$$e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$$

オイラーの公式です。左辺は指数関数、右辺は三角関数。まったく別の場所で育った 2 つが、虚数を挟んだだけで同じものになります。

$|e^{i\theta }|=\sqrt{{\cos }^2\theta +{\sin }^2\theta }=1$ なので、$\theta$ を動かしたときの $e^{i\theta }$ は単位円の上だけを動く。$\theta$ は円周に沿って進んだ長さそのものです。

濃い横棒が実部の $\cos \theta$、縦棒が虚部の $\sin \theta$。円上の点を実軸と虚軸へ落とした影が、そのまま三角関数の値になります。

級数を突き合わせる

公式が出てくる筋道はいくつかありますが、いちばん見通しがよいのは級数です。$e^x$ の展開に $x=i\theta$ を入れる。

$$e^{i\theta }=1+i\theta +\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\frac{(i\theta {)}^4}{4!}+\cdots$$

$i$ の累乗は $1,i,-1,-i$ を繰り返すので、実数の項と $i$ の付く項が交互に並びます。実数だけを集めると

$$1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots =\cos \theta$$

となり、$i$ の付く項を集めると $\sin \theta$ の級数が出る。この 2 つを足し戻したものがオイラーの公式です^[3]。

項を継ぐたびに、折れ線が渦を巻きながら灰色の目標点へ寄っていきます。目標は $\theta =2.4$ に対応する単位円上の点。$10$ 項ほどで見た目には重なります。

指数法則が加法定理になる

オイラーの公式のありがたみは、指数法則がそのまま使えるところです。

$$e^{i(\alpha +\beta )}=e^{i\alpha }\cdot e^{i\beta }$$

左辺は $\cos (\alpha +\beta )+i\sin (\alpha +\beta )$、右辺は $(\cos \alpha +i\sin \alpha )(\cos \beta +i\sin \beta )$。展開して実部と虚部を比べると、加法定理が $2$ 本まとめて出ます^[3]。

覚えにくい符号の並びが、指数の足し算 $1$ 本に化ける。三角関数の公式を指数の言葉へ翻訳する、という見方です。

累乗はド・モアブルになる

$n$ 乗も同じです。指数法則から

$$(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$$

で、これを三角関数に戻せば $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos n\theta +i\sin n\theta$。ド・モアブルの定理は、指数法則の言いかえだったことになります。

極形式が短くなる

絶対値 $r$、偏角 $\theta$ の複素数は $r(\cos \theta +i\sin \theta )$ と書きますが、公式を使えば $r{e}^{i\theta }$ の $4$ 文字で済みます。

$$r_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$$

絶対値は掛け、偏角は足す。この規則が式の形にそのまま現れる。$1$ の $n$ 乗根も $e^{2\pi ik/n}$ と一列で書けます^[3]。

θ を π まで動かす

$\theta =\pi$ を入れると、$\cos \pi =-1$, $\sin \pi =0$ なので $e^{i\pi }=-1$。移項すれば有名な形になります。

$$e^{i\pi }+1=0$$

点は円の上半分をたどって $-1$ に着き、そこへ $1$ を足すと原点に落ちます。$e$, $i$, $\pi$, $1$, $0$ が $1$ 本の式に並ぶ形。別々に定義された定数どうしが、こうして結びつきます。

微分でも同じ景色になる

$e^{i\theta }$ を $\theta$ で微分すると $i{e}^{i\theta }$、つまりもとの値に $i$ を掛けたものです。$i$ を掛けることは $90$ 度の回転なので、速度がつねに位置と直角を向く。

円運動そのものの言いかえです。実部と虚部を比べれば $(\cos \theta {)}^{\prime }=-\sin \theta$, $(\sin \theta {)}^{\prime }=\cos \theta$ も同時に出ます^[3]。

だれが先に書いたか

対数の形でこの関係に触れたのはロジャー・コーツで、1714 年の論文 Logometria に $\ln (\cos \theta +i\sin \theta )=i\theta$ が現れます^[1]。

指数の形にまとめ、解析の体系へ組み込んだのがオイラーです。1748 年の Introductio in analysin infinitorum で $e^{ix}=\cos x+i\sin x$ を与えました^[2]。複素数を平面の点として描く見方が広まるのは、さらにあとになります。

参考文献