1 次分数変換で円はどこへ写るか｜メビウス変換の基本

1 次分数変換は、分子も分母も 1 次式にした対応である。

$w = \frac{α z + β}{γ z + δ}, α δ - β γ \neq = 0$

メビウス変換とも呼ばれる^[1]。円と直線をまとめて円と直線へ写す。

条件が外れると変換にならない

$α δ - β γ = 0$ のとき、分子と分母が比例する。 $α z + β = k (γ z + δ)$ と書ける形になる。

すると $w = k$ で、どの $z$ も同じ点へ落ちる。写像としてつぶれてしまう。

$α δ - β γ \neq = 0$ は「つぶれない」という条件である。行列式と同じ形をしているのは偶然ではない。

3 つの動きに分かれる

$γ \neq = 0$ とする。分子を分母で割る形に整理する。

$w = \frac{α}{γ} + \frac{β γ - α δ}{γ ( γ z + δ )}$

内側から読むと、平行移動して定数倍し、逆数をとり、また定数倍して平行移動する形になっている。

つまり 1 次分数変換は、平行移動と回転拡大と $\frac{1}{z}$ の 3 つを組み合わせたものである^[1]。新しい動きは入っていない。

$γ = 0$ なら $w = \frac{α}{δ} z + \frac{β}{δ}$ で、回転拡大と平行移動だけになる。

平行移動して定数倍する

逆数をとる

また定数倍して平行移動する

例：分解してみる

$w = \frac{z + 1}{z - 1}$ をとる。 $α δ - β γ = - 1 - 1 = - 2$ で条件をみたす。

$w = 1 + \frac{2}{z - 1}$

$1$ を引き、逆数をとり、 $2$ 倍して $1$ を足す。4 段の手順に落ちた。

$z = 0$ なら $1 + \frac{2}{- 1} = - 1$ 、 $z = 2$ なら $1 + 2 = 3$ である。もとの式に入れても同じ値になる。

円と直線をまとめて写す

平行移動も回転拡大も、円を円に、直線を直線に写す。 $\frac{1}{z}$ だけが円と直線を入れかえる。

3 つを組み合わせた 1 次分数変換も、円と直線をあわせた仲間の中で閉じる^[1]。

直線を「無限に遠い点を通る円」と見ると、区別せずに「円は円に写る」と言える。無限遠点を 1 つ足した平面で考える置き方である^[1]。

角度も保たれる。分母が $0$ になる点を除けば微分が $0$ にならないので、等角写像になっている^[3]。

例：単位円がどこへ行くか

$w = \frac{z + 1}{z - 1}$ で単位円を写す。特徴のある 4 点を入れる。

$z = - 1$ では $w = 0$ 、 $z = i$ では $w = - i$ 、 $z = - i$ では $w = i$ である。 $z = 1$ では分母が $0$ になり、無限に遠くへ飛ぶ。

$0$ 、 $i$ 、 $- i$ 、無限遠を通る円は虚軸である。単位円は虚軸へ写った。

$z = cos 6 0^{\circ} + i sin 6 0^{\circ}$ を入れても、 $w = - 3 i$ で虚軸の上に来る。判定どおりである。

例：内側と外側

$z = 0$ は $w = - 1$ へ移る。原点は単位円の内側なので、内側は虚軸の左半分へ行くと分かる。

$z = 2$ は $w = 3$ で、外側は右半分へ移る。境界の円が直線になり、内と外が 2 つの半平面に分かれた。

円の内部を半平面に写す。この使い方は、領域の問題で扱いやすい形へ持ち込むときに効く。

複比は変わらない

1 次分数変換をかけても、4 点の複比は同じ値のままである^[2]。

複比が実数であることは 4 点が同一円周上か一直線という条件だった。変換で複比が動かないなら、その性質も動かない。

円が円に写ることの別の言い方になっている。保たれる量を 1 つ見つけると、保たれる性質がまとめて出てくる。

例：3 点を決めると変換が 1 つに決まる

異なる 3 点の行き先を指定すると、1 次分数変換はただ 1 つに決まる。

$1 \to 0$ 、 $i \to 1$ 、 $- 1 \to \infty$ となる変換を作る。 $- 1$ で分母が $0$ になるので、分母は $z + 1$ の定数倍である。

$1$ で $0$ になるから分子は $z - 1$ の定数倍。 $w = k \frac{z - 1}{z + 1}$ と置いて $z = i$ を入れる。

$\frac{i - 1}{i + 1} = \frac{( i - 1 ) ( 1 - i )}{2} = \frac{i - i ^{2} - 1 + i}{2} = i$ なので、 $k i = 1$ から $k = - i$ である。

$w = - i \frac{z - 1}{z + 1}$

3 点の行き先だけで係数が決まった。 $α δ - β γ = - i (1) - i (- 1) (1)$ を計算すると $- 2 i \neq = 0$ で、条件もみたしている。

形	$\frac{α z + β}{γ z + δ}$
条件	$α δ - β γ \neq = 0$
分解	平行移動、回転拡大、逆数
写るもの	円と直線をあわせた仲間
保たれる量	複比、角度
決まり方	異なる 3 点の行き先で 1 つ

$w = \frac{2 z + 1}{z + 3}$ は 1 次分数変換になるか。

なる。 $α δ - β γ = 5$ で $0$ ではない
ならない。分母に $z$ があるため
ならない。 $α δ - β γ = 0$ になるため

__RESULT__

$α δ - β γ = 2 \times 3 - 1 \times 1 = 5$ である。 $0$ ではないので変換になる。分母に $z$ が入るのはこの形の特徴で、除外される理由にはならない。

平行移動と回転拡大と逆数。この 3 つを組み合わせただけの対応が、円と直線をまとめて扱う枠を作っている。

出典

Fractional-linear mapping. Encyclopedia of Mathematics.

Cross Ratio. Wolfram MathWorld.

Conformal Mapping. Wolfram MathWorld.

$w = \dfrac{\alpha z+\beta}{\gamma z+\delta}$ に $\alpha\delta-\beta\gamma \neq 0$ を付けるのは、これが $0$ だと分子と分母が比例して定数写像につぶれるためです。分子を分母で割ると、平行移動と回転拡大と $\frac{1}{z}$ の 3 つに分かれる。新しい動きは入っていません。円と直線をあわせた仲間の中で閉じ、複比と角度が保たれます。$w=\frac{z+1}{z-1}$ では単位円が虚軸へ写り、内側が左半平面に落ちる。異なる 3 点の行き先を決めると変換がただ 1 つに定まります。