w = f(z) の像 - 円は円に、単位円は線分に

$z$ が円や直線の上を動くとき、$w=f(z)$ で移った先がどんな図形になるか。この形の問題は、$z$ を $w$ で表してから $z$ の条件式に代入する、という一手でほとんど片づきます。

$w=2z+i$ を例にします。$|z|=1$ が条件なら、まず $z$ について解く。

$$z=\frac{w-i}{2}$$

これを $|z|=1$ に入れると $\left|\frac{w-i}{2}\right|=1$、つまり $|w-i|=2$ です。中心 $i$、半径 $2$ の円。

左が $z$ の動く場所、右が $w$ の動く場所です。$2$ 倍して $i$ だけずらす写像なので、円が $2$ 倍に膨らんで上へ平行移動しただけ。形は円のまま変わりません。

手順は 3 段だけ

一次式でも分数式でも、進め方は共通しています。

$z$ を消して $w$ だけの関係式にする、という点がすべてです。$z$ が残っていると図形として読めません。

反転で円が直線になる

$w=\frac{1}{z}$ は、円を円へ移すこともあれば直線へ移すこともあります。分かれ目は、もとの円が原点を通るかどうか。

$|z-1|=1$ を動く $z$ で考えます。この円は原点を通ります。$z=\frac{1}{w}$ を代入すると

$$\left|\frac{1}{w}-1\right|=1$$

となり、左辺を通分して $\left|\frac{1-w}{w}\right|=1$、つまり $|1-w|=|w|$ です。

これは $w$ が $0$ と $1$ から等距離という条件。$0$ と $1$ を結ぶ線分の垂直二等分線、すなわち直線 $\mathrm{Re}(w)=\frac{1}{2}$ になります。

$z$ が原点に近づくと $w$ は上下へ飛んでいきます。円が原点を通るぶん、像のほうは端のない直線になる。有界な図形が非有界な図形へ移る、反転らしい振る舞いです。

単位円が線分に潰れる

$w=z+\frac{1}{z}$ は入試で繰り返し出る形です。$|z|=1$ のときは極形式が効きます。

$z=\cos \theta +i\sin \theta$ とおくと $\frac{1}{z}=\cos \theta -i\sin \theta$ なので、足すと虚部が消える。

$$w=2\cos \theta$$

$\cos \theta$ は $-1$ から $1$ まで動くので、$w$ は実軸上の $-2$ から $2$ までの線分をなぞります。円が完全に潰れて、線分になった格好。

半径を $1$ より大きくすると、像は線分から楕円へふくらみます。$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ を代入すれば理由が見える。

$$w=\left(r+\frac{1}{r}\right)\cos \theta +i\left(r-\frac{1}{r}\right)\sin \theta$$

実部の係数が長軸、虚部の係数が短軸。$r$ が $1$ に近づくと短軸が $0$ へ縮み、楕円が線分に潰れます。どの $r$ でも焦点は $\pm 2$ のまま動かない。

分数式で一本通す

分母に $z$ が入っていても手順は同じです。$|z|=2$ を動く $z$ に対して、$w=\frac{z}{z-4}$ が描く図形を求めます。

まず $z$ について解きます。両辺に $z-4$ を掛けて整理すると $z(w-1)=4w$、よって次の形。

$$z=\frac{4w}{w-1}$$

これを $|z|=2$ に入れると $4|w|=2|w-1|$、つまり $2|w|=|w-1|$ になります。$2$ 乗して $|w{|}^2=w\bar{w}$ を使うと

$$4w\bar{w}=(w-1)(\bar{w}-1)=|w{|}^2-(w+\bar{w})+1$$

なので $3|w{|}^2+(w+\bar{w})-1=0$。$w=x+yi$ を代入して整理すると、次の円が出ます。

$${\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2+y^2=\frac{4}{9}$$

中心 $-\frac{1}{3}$、半径 $\frac{2}{3}$ の円。$z=2$ を入れると $w=-1$ で、たしかに中心から $\frac{2}{3}$ の位置にあります。$z=-2$ なら $w=\frac{1}{3}$ で、これも円周上。

検算はこのように、もとの図形の分かりやすい点を 1 つ 2 つ通してみるだけで足ります。

除外される点を落とさない

この種の問題でいちばん失点しやすいのが、$z$ に付いていた制限を $w$ 側へ持ち越すところです。

さきほどの $|z-1|=1$ では、円周上に原点が乗っています。$w=1/z$ は $z=0$ で定義されないので、$z$ は原点を除いた円周を動く。そのぶん $w$ は直線から 1 点だけ抜けそうに見えますが、実際には $z$ が原点に近づくと $w$ が無限に遠ざかるだけで、直線上に穴はあきません。

いっぽう $w=2z+i$ で $z$ が $|z|=1$ の上半分だけを動く、と条件が付いていれば、像も円の上半分だけ。$z$ の範囲が制限されたら、対応する $w$ の範囲も必ず調べ直します。

極形式か、代入か

道具は 2 つあります。$|z|$ が一定なら極形式を使うと計算が短い。$z$ の条件が絶対値の等式や不等式なら、$z$ について解いて代入する形が確実です。

$w=z+\frac{1}{z}$ のように $z$ について解くと $2$ 次方程式になる場合は、極形式のほうが早い。解いた形が汚いと感じたら、もう片方の道へ切り替える判断がそのまま時間になります。