z^n の極限と収束条件 - 複素数の累乗が描く螺旋

複素数を何度も掛けると、点は回りながら中心へ寄るか、外へ逃げるかのどちらかになります。実数の等比数列が一直線に並ぶのに対して、こちらは渦を巻く。

$z = r (cos θ + i sin θ)$ を $n$ 乗すると、絶対値と偏角がそれぞれ別に動きます。

$z^{n} = r^{n} (cos n θ + i sin n θ)$

絶対値は $r^{n}$ で等比数列、偏角は $n θ$ で等差数列。原点からの距離が一定の割合で変わり、向きが一定の角度ずつ進むので、軌跡は対数螺旋になります。

$∣ z ∣ = 0.88$ の例です。 $1$ 回掛けるごとに原点までの距離が $0.88$ 倍になり、向きは一定角ずつ進む。同じ形を保ったまま縮んでいくので、渦の巻き方はどこも相似です。

行き先は絶対値だけで決まる

$z^{n}$ が近づく先を決めるのは $r = ∣ z ∣$ ひとつです。偏角は回り方を変えるだけで、遠いか近いかには関わりません。

r < 1

なら

r^{n}

は

0

に近づき、

z^{n}

は原点へ収束する。

r = 1

ならいつまでも単位円の上を回り続ける。

r > 1

なら

r^{n}

が限りなく大きくなり、外へ発散する。

実数の等比数列で $∣ r ∣ < 1$ が収束条件だったのと、そっくり同じ形です。複素数になっても、判定に使うのは絶対値だけ。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

$3$ つの点が同じ角速度で回り、半径だけが違う運命をたどります。内へ巻く線、円をなぞる線、外へ開く線。分かれ目はちょうど $∣ z ∣ = 1$ です。

円の上に居続ける場合

$∣ z ∣ = 1$ のときの動きは、偏角 $θ$ の性質で変わります。 $θ$ が $2 π$ の有理数倍なら、有限回で出発点に戻る。

$θ = \frac{2 π}{5}$ なら $z^{5} = 1$ なので、 $5$ 個の点をぐるぐる回るだけです。いっぽう $θ$ が $2 π$ の無理数倍だと二度と同じ点に戻らず、円周を埋めるように点が散らばります。

どちらの場合も $z^{n}$ は $1$ か所に落ち着かないので、極限は存在しません。

足し合わせると別の螺旋になる

$z^{n}$ そのものより、足した $1 + z + z^{2} + \dots$ のほうが試験ではよく出ます。 $∣ z ∣ < 1$ なら無限等比級数として収束する。

$n = 0 \sum \infty z^{n} = \frac{1}{1 - z}$

部分和を順に打つと、こちらも渦を巻きながら $1$ 点へ寄っていきます。

canvas: 置き場が受け取りませんでした

折れ線の $1$ 本 $1$ 本が $z^{n}$ で、長さが $0.8$ 倍ずつ縮みながら向きを変えていきます。継いだ先が丸で示した $\frac{1}{1 - z}$ へ吸い込まれる。

1 + i を累乗してみる

数を入れると動きがつかめます。 $z = 1 + i$ は絶対値が $2$ 、偏角が $45$ 度。

$z^{n} = (2)^{n} (cos \frac{nπ}{4} + i sin \frac{nπ}{4})$

$1$ 回掛けるごとに $2$ 倍へふくらみ、 $45$ 度ずつ回ります。 $8$ 回で偏角が $360$ 度に戻るので、 $z^{8}$ は正の実数。実際 $(1 + i)^{2} = 2 i$ から順に計算すると $(1 + i)^{4} = - 4$ 、 $(1 + i)^{8} = 16$ です。

絶対値が $1$ を超えているので、外へ開く螺旋。向きだけは $8$ 回ごとに元へ戻ります。

円の上では和も収束しない

$∣ z ∣ = 1$ かつ $z \neq = 1$ のとき、部分和は等比数列の和として書けます。

$1 + z + \dots + z^{N - 1} = \frac{z ^{N} - 1}{z - 1}$

分子の $z^{N}$ は単位円上をぐるぐる回るだけなので、この値は一定の範囲に収まったまま揺れ続けます。大きくはならないものの、 $1$ 点には落ち着かない。

有界でありながら収束しない、という状態です。 $∣ z ∣ < 1$ で初めて $z^{N} \to 0$ となり、和が $\frac{1}{1 - z}$ に定まります。

実部をとると三角関数の級数になる

この収束を使うと、実数の級数がまとめて計算できます。 $z = r (cos θ + i sin θ)$ とおけば

$n = 0 \sum \infty r^{n} cos n θ = Re (\frac{1}{1 - z})$

です。右辺は分母を実数化して $\frac{1 - r cos θ}{1 - 2 r cos θ + r ^{2}}$ になります。

$r = \frac{1}{3}$ , $θ = \frac{π}{3}$ で試すと、分子が $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ 、分母が $1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{9} = \frac{7}{9}$ なので、和は $\frac{15}{14}$ 。

虚部をとれば $sin$ の級数も同時に出ます。三角関数の無限級数を、複素数の等比級数 $1$ 本に押し込んでしまう手口です。

見るのは半径、次に角度

累乗が絡む問題では、まず $∣ z ∣$ を見る。 $1$ より小さいか、等しいか、大きいかで話の骨格が決まります。

そのあとに偏角へ目を移し、何周で戻るか、どの向きに巻くかを詰める。この順番で読むと、螺旋の絵が計算より先に浮かびます。

複素数を掛け続けると、点は回りながら中心へ寄るか外へ逃げます。絶対値は等比数列、偏角は等差数列に進むので軌跡は対数螺旋。行き先を決めるのは |z| だけで、1 より小さければ原点へ、等しければ円の上を回り続け、大きければ発散します。部分和が 1/(1-z) へ吸い込まれる様子と、実部から三角関数の級数を取り出す手口まで。