z^n の極限と収束条件 - 複素数の累乗が描く螺旋

複素数を何度も掛けると、点は回りながら中心へ寄るか、外へ逃げるかのどちらかになります。実数の等比数列が一直線に並ぶのに対して、こちらは渦を巻く。

$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ を $n$ 乗すると、絶対値と偏角がそれぞれ別に動きます。

$$z^n=r^n(\cos n\theta +i\sin n\theta )$$

絶対値は $r^n$ で等比数列、偏角は $n\theta$ で等差数列。原点からの距離が一定の割合で変わり、向きが一定の角度ずつ進むので、軌跡は対数螺旋になります。

$|z|=0.88$ の例です。$1$ 回掛けるごとに原点までの距離が $0.88$ 倍になり、向きは一定角ずつ進む。同じ形を保ったまま縮んでいくので、渦の巻き方はどこも相似です。

行き先は絶対値だけで決まる

$z^n$ が近づく先を決めるのは $r=|z|$ ひとつです。偏角は回り方を変えるだけで、遠いか近いかには関わりません。

実数の等比数列で $|r|<1$ が収束条件だったのと、そっくり同じ形です。複素数になっても、判定に使うのは絶対値だけ。

$3$ つの点が同じ角速度で回り、半径だけが違う運命をたどります。内へ巻く線、円をなぞる線、外へ開く線。分かれ目はちょうど $|z|=1$ です。

円の上に居続ける場合

$|z|=1$ のときの動きは、偏角 $\theta$ の性質で変わります。$\theta$ が $2\pi$ の有理数倍なら、有限回で出発点に戻る。

$\theta =\frac{2\pi }{5}$ なら $z^5=1$ なので、$5$ 個の点をぐるぐる回るだけです。いっぽう $\theta$ が $2\pi$ の無理数倍だと二度と同じ点に戻らず、円周を埋めるように点が散らばります。

どちらの場合も $z^n$ は $1$ か所に落ち着かないので、極限は存在しません。

足し合わせると別の螺旋になる

$z^n$ そのものより、足した $1+z+z^2+\cdots$ のほうが試験ではよく出ます。$|z|<1$ なら無限等比級数として収束する。

$$\sum _{n=0}^{\infty }{z}^n=\frac{1}{1-z}$$

部分和を順に打つと、こちらも渦を巻きながら $1$ 点へ寄っていきます。

折れ線の $1$ 本 $1$ 本が $z^n$ で、長さが $0.8$ 倍ずつ縮みながら向きを変えていきます。継いだ先が丸で示した $\frac{1}{1-z}$ へ吸い込まれる。

1 + i を累乗してみる

数を入れると動きがつかめます。$z=1+i$ は絶対値が $\sqrt{2}$、偏角が $45$ 度。

$$z^n=(\sqrt{2}{)}^n\left(\cos \frac{n\pi }{4}+i\sin \frac{n\pi }{4}\right)$$

$1$ 回掛けるごとに $\sqrt{2}$ 倍へふくらみ、$45$ 度ずつ回ります。$8$ 回で偏角が $360$ 度に戻るので、$z^8$ は正の実数。実際 $(1+i{)}^2=2i$ から順に計算すると $(1+i{)}^4=-4$、$(1+i{)}^8=16$ です。

絶対値が $1$ を超えているので、外へ開く螺旋。向きだけは $8$ 回ごとに元へ戻ります。

円の上では和も収束しない

$|z|=1$ かつ $z\ne 1$ のとき、部分和は等比数列の和として書けます。

$$1+z+\cdots +z^{N-1}=\frac{z^N-1}{z-1}$$

分子の $z^N$ は単位円上をぐるぐる回るだけなので、この値は一定の範囲に収まったまま揺れ続けます。大きくはならないものの、$1$ 点には落ち着かない。

有界でありながら収束しない、という状態です。$|z|<1$ で初めて $z^N\to 0$ となり、和が $\frac{1}{1-z}$ に定まります。

実部をとると三角関数の級数になる

この収束を使うと、実数の級数がまとめて計算できます。$z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$ とおけば

$$\sum _{n=0}^{\infty }{r}^n\cos n\theta =\mathrm{Re}\left(\frac{1}{1-z}\right)$$

です。右辺は分母を実数化して $\frac{1-r\cos \theta }{1-2r\cos \theta +r^2}$ になります。

$r=\frac{1}{3}$, $\theta =\frac{\pi }{3}$ で試すと、分子が $1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}$、分母が $1-\frac{1}{3}+\frac{1}{9}=\frac{7}{9}$ なので、和は $\frac{15}{14}$。

虚部をとれば $\sin$ の級数も同時に出ます。三角関数の無限級数を、複素数の等比級数 $1$ 本に押し込んでしまう手口です。

見るのは半径、次に角度

累乗が絡む問題では、まず $|z|$ を見る。$1$ より小さいか、等しいか、大きいかで話の骨格が決まります。

そのあとに偏角へ目を移し、何周で戻るか、どの向きに巻くかを詰める。この順番で読むと、螺旋の絵が計算より先に浮かびます。