絶対値の 2 乗は共役との積……そこから展開が一本道に

絶対値のままでは展開できない。$2$ 乗して共役との積に直すと、ふつうの式の計算になる^[1]。

$$|z{|}^2=z\bar{z}$$

$z=a+bi$ なら $z\bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$。根号が消えて多項式になる^[2]。

根号を先に外す

絶対値の入った等式は、両辺を $2$ 乗してから開く。$|z|\ge 0$ なので、$2$ 乗しても同値のまま残る。

$2$ 乗した先で $z\bar{z}$ に置きかえると、$z$ と $\bar{z}$ の 2 つの文字についての式になる。あとは展開と整理だけ。

例：$|z-\alpha {|}^2$ を展開する

$\overline{z-\alpha }=\bar{z}-\bar{\alpha }$ なので、次のように開ける。

$$|z-\alpha {|}^2=(z-\alpha )(\bar{z}-\bar{\alpha })=z\bar{z}-\bar{\alpha }z-\alpha \bar{z}+\alpha \bar{\alpha }$$

$z\bar{z}=|z{|}^2$、$\alpha \bar{\alpha }=|\alpha {|}^2$ に戻すと、次の形になる。

$$|z-\alpha {|}^2=|z{|}^2-\bar{\alpha }z-\alpha \bar{z}+|\alpha {|}^2$$

$z=3+i$、$\alpha =1+2i$ で確かめる。左辺は $|2-i{|}^2=5$。

右辺は $10-(5-5i)-(5+5i)+5=5$。合っている。

例：$|z|=2$ を式に直す

両辺を $2$ 乗して $|z{|}^2=4$、置きかえて $z\bar{z}=4$ である。

$z=x+yi$ なら $x^2+y^2=4$。原点を中心とする半径 $2$ の円になる。

複素数のまま扱うなら $z\bar{z}=4$ のほうが軽い。$x$ と $y$ に割らずに済む。

例：$|z-1|=|z-i|$

両辺を $2$ 乗して展開する。左は $|z{|}^2-z-\bar{z}+1$、右は $|z{|}^2+iz-i\bar{z}+1$ である。

$|z{|}^2$ と $1$ が消えて、$-z-\bar{z}=iz-i\bar{z}$ が残る。

$z=x+yi$ を入れると、左が $-2x$、右が $-2y$ になる。よって $x=y$、直線 $y=x$ である。

$1$ と $i$ から等距離の点の集合なので、$2$ 点を結ぶ線分の垂直二等分線になっている^[4]。

例：$|z-1|=2|z|$

$2$ 乗すると $|z-1{|}^2=4|z{|}^2$ である。左辺を開く。

$$|z{|}^2-z-\bar{z}+1=4|z{|}^2$$

移項して $3|z{|}^2+z+\bar{z}-1=0$。$z+\bar{z}=2x$、$|z{|}^2=x^2+y^2$ を入れる。

$$3(x^2+y^2)+2x-1=0$$

$3$ で割って平方完成すると ${\left(x+\frac{1}{3}\right)}^2+y^2=\frac{4}{9}$。中心 $-\frac{1}{3}$、半径 $\frac{2}{3}$ の円である。

$x=\frac{1}{3}$ を入れると $\left|\frac{1}{3}-1\right|=\frac{2}{3}$、$2\left|\frac{1}{3}\right|=\frac{2}{3}$ でそろう。

例：余弦定理が出てくる

$|\alpha -\beta {|}^2$ を同じ手で開く。

$$|\alpha -\beta {|}^2=|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2-\alpha \bar{\beta }-\bar{\alpha }\beta$$

$\alpha \bar{\beta }$ と $\bar{\alpha }\beta$ は共役どうしなので、足すと実部の $2$ 倍になる。

$$|\alpha -\beta {|}^2=|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2-2\mathrm{Re}(\bar{\alpha }\beta )$$

三角形の 3 辺を結ぶ余弦定理と同じ形である。最後の項が $2|\alpha ||\beta |\cos \theta$ にあたる。

積と商はそのまま分かれる

絶対値は掛け算と割り算を素通りする^[3]。

たし算だけは分かれない。$|z+w|$ は $|z|+|w|$ にならないので、和が出たら $2$ 乗して開くしかない。

例：$(1+i{)}^{10}$ の絶対値

展開する必要はない。$|1+i|=\sqrt{2}$ なので、$10$ 乗すれば済む。

$$|(1+i{)}^{10}|=(\sqrt{2}{)}^{10}=2^5=32$$

$32$ である。実際に $(1+i{)}^{10}=32i$ となり、絶対値が $32$ で合う。

例：単位円の上では $\bar{z}=\frac{1}{z}$

$|z|=1$ なら $z\bar{z}=1$。両辺を $z$ で割ると $\bar{z}=\frac{1}{z}$ になる。

共役を逆数に置きかえられるので、$\bar{z}$ の入った式が分数式に直せる。単位円上の問題でよく使う手である。

$z=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ で試す。$\bar{z}=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$ で、$\frac{1}{z}$ を計算しても同じ値になる。

例：実数であることを示す

$w=\frac{z}{\bar{z}}$ の絶対値を求める。$|z|=|\bar{z}|$ なので、比は $1$ である^[3]。

絶対値が $1$ でも実数とは限らない。実数かどうかは $w=\bar{w}$ で調べる別の話になる。

絶対値は大きさだけの情報で、向きを見ていない。$2$ 乗して展開する手は、大きさの条件にしか使えない。

検算

展開の途中では、$|z{|}^2$ の項が消えたかどうかを見る。$2$ 点からの距離が等しい形なら消えて直線、比が $1$ でなければ残って円になる。

まちがえやすい点

$|w{|}^2=w\bar{w}$ に置きかえる。この 1 手を最初に入れておけば、絶対値の式はすべて $z$ と $\bar{z}$ の多項式に落ちる。

出典