偏角をまちがえない象限の見かた〜複素数の極形式

$z = x + y i$ の絶対値は $r = x^{2} + y^{2}$ で一発で決まります^[1]。

偏角のほうは $tan θ = \frac{y}{x}$ から候補が 2 つ出ます。 $tan$ の周期が $18 0^{\circ}$ なので、逆にたどると $18 0^{\circ}$ 違う 2 つが残る^[1]。

どちらを選ぶかは、点がどの象限にあるかで決めます^[3]。

絶対値は迷わない

$r$ は原点からの距離なので、正の数がただ 1 つ決まります。

$r = ∣ z ∣ = x^{2} + y^{2}$

$z = 2 - 2 i$ なら $4 + 4 = 22$ 。符号を気にする場面がありません。

偏角は 2 つの候補から選ぶ

$tan θ = \frac{y}{x}$ を解くと、 $18 0^{\circ}$ 離れた 2 つの角が出ます。

$\frac{y}{x}$ は $x$ と $y$ の符号を両方とも反転させても変わりません。原点をはさんで反対側の点が、同じ比を与えるためです。

比だけでは足りない。 $x$ と $y$ それぞれの符号を見て、点がどの象限にいるかを確かめます^[3]。

絶対値 $x^{2} + y^{2}$ を出す

$tan θ = \frac{y}{x}$ から候補を 2 つ出す

$x$ と $y$ の符号で象限を決める

例： $2 - 2 i$

$r = 4 + 4 = 22$ です。 $tan θ = \frac{- 2}{2} = - 1$ 。

候補は $13 5^{\circ}$ と $31 5^{\circ}$ になります。実部が正、虚部が負なので第 4 象限です^[1]。

$2 - 2 i = 22 (cos 31 5^{\circ} + i sin 31 5^{\circ})$

$13 5^{\circ}$ を選ぶと $- 2 + 2 i$ になってしまう。値が原点対称の位置へ飛びます。

例： $- 1 + i$

$r = 1 + 1 = 2$ 、 $tan θ = \frac{1}{- 1} = - 1$ です。候補はさきほどと同じ 2 つ。

実部が負、虚部が正なので第 2 象限。 $13 5^{\circ}$ を選びます^[1]。

$- 1 + i = 2 (cos 13 5^{\circ} + i sin 13 5^{\circ})$

$tan$ の値が同じでも、答えが違う。比だけを見て決められない理由がここにあります。

例：実部が $0$ のとき

$z = - \frac{3}{2} i$ では $tan θ$ が計算できません。分母が $0$ になります。

$r = \frac{3}{2}$ で、点は虚軸の負の側にあります。偏角は $27 0^{\circ}$ です^[3]。

軸の上に乗る点は、象限で決めるのではなく直接読みます。 $x$ 軸の正なら $0^{\circ}$ 、負なら $18 0^{\circ}$ 。 $y$ 軸の正なら $9 0^{\circ}$ 、負なら $27 0^{\circ}$ になる。

第 1 象限	$x > 0$ 、 $y > 0$ 。 $0^{\circ}$ から $9 0^{\circ}$
第 2 象限	$x < 0$ 、 $y > 0$ 。 $9 0^{\circ}$ から $18 0^{\circ}$
第 3 象限	$x < 0$ 、 $y < 0$ 。 $18 0^{\circ}$ から $27 0^{\circ}$
第 4 象限	$x > 0$ 、 $y < 0$ 。 $27 0^{\circ}$ から $36 0^{\circ}$

範囲を先に決めておく

偏角に $36 0^{\circ}$ の整数倍を足しても同じ点を指します^[2]。書き方が何通りもある。

そこで範囲を 1 つ決めて使います。 $0^{\circ}$ 以上 $36 0^{\circ}$ 未満か、 $- 18 0^{\circ}$ より大きく $18 0^{\circ}$ 以下か。後者は主値と呼ばれます^[3]。

どちらでも同じ点を表しますが、途中の計算で答え合わせをするときに食い違います。問題ごとに 1 つ選び、最後までそろえます。

例：極形式から直交形式へ戻す

$r = 2$ 、 $θ = 12 0^{\circ}$ の点を $x + y i$ に直します。こちらは迷いません。

$x = 2 cos 12 0^{\circ} = - 1$ 、 $y = 2 sin 12 0^{\circ} = 3$ です^[1]。

$z = - 1 + 3 i$

戻すときは代入するだけ。行きだけが象限の判断を必要とします。

例：極形式が効く場面

$(- 1 + i)^{8}$ を出します。極形式は $2 (cos 13 5^{\circ} + i sin 13 5^{\circ})$ でした。

絶対値は $(2)^{8} = 16$ 、偏角は $13 5^{\circ} \times 8 = 108 0^{\circ}$ 。 $36 0^{\circ}$ で 3 周ぶん引いて $0^{\circ}$ です。

$(- 1 + i)^{8} = 16 (cos 0^{\circ} + i sin 0^{\circ}) = 16$

偏角をまちがえていたら、ここで符号が反転します。最初の象限の判断が最後まで効いてくる。

$z = - 3 - 33 i$ の偏角はどれですか。ただし $0^{\circ}$ 以上 $36 0^{\circ}$ 未満とします。

$24 0^{\circ}$
$6 0^{\circ}$
$30 0^{\circ}$

__RESULT__

$tan θ = \frac{- 3 3}{- 3} = 3$ なので候補は $6 0^{\circ}$ と $24 0^{\circ}$ です。実部も虚部も負なので第 3 象限、よって $24 0^{\circ}$ 。 $6 0^{\circ}$ は符号を見なかった値、 $30 0^{\circ}$ は第 4 象限と読みちがえた値になります。

まちがえやすい点

tan

の値だけで偏角を決める。

18 0^{\circ}

違う候補が残ります。

\frac{y}{x}

の符号だけを見る。

x

と

y

それぞれの符号が要ります。

実部が

0

のときに

tan

を使おうとする。軸の上なので直接読みます。

偏角の範囲を決めずに進める。同じ点が違う値で書けて、答え合わせが合わなくなります。

絶対値に

\pm

を付ける。距離なのでつねに正です。

arctan

の値をそのまま答えにする。返る角は

- 9 0^{\circ}

から

9 0^{\circ}

の範囲に限られます。

絶対値は計算、偏角は判断。この 2 つを分けておけば、極形式に直すところでつまずかなくなります。

参考

Marc Deisenroth. *Complex Numbers*. Revision Notes, Imperial College London, Department of Computing, 2017.

Jörn Dunkel, Jeremy Orloff. *18.04 Complex Analysis with Applications*. MIT, Spring 2019.

Complex Argument. Wolfram MathWorld.

絶対値 $\sqrt{x^2+y^2}$ は正の数がただ 1 つ決まりますが、偏角は $\tan\theta = \frac{y}{x}$ から $180^\circ$ 離れた候補が 2 つ出ます。$\frac{y}{x}$ は $x$ と $y$ を同時に反転させても変わらないため。比だけでは足りず、それぞれの符号で象限を決めます。$2-2i$ と $-1+i$ は $\tan$ が同じ $-1$ でも $315^\circ$ と $135^\circ$ に分かれる。実部が $0$ の点は軸の上なので直接読み、偏角の範囲は $0^\circ$ 以上 $360^\circ$ 未満か主値かを先に決めておきます。