割り算は偏角の引き算になる（複素数の商と極形式）

$\frac{z_1}{z_2}$ の絶対値は $\frac{|z_1|}{|z_2|}$、偏角は $\arg z_1-\arg z_2$ です。

掛け算で足された偏角が、割り算では引かれます^[1]。長さのほうも掛け算から割り算へ変わるだけ。

$$\frac{r_1(\cos {\theta }_1+i\sin {\theta }_1)}{r_2(\cos {\theta }_2+i\sin {\theta }_2)}=\frac{r_1}{r_2}(\cos ({\theta }_1-{\theta }_2)+i\sin ({\theta }_1-{\theta }_2))$$

分母を実数にしてから割る

$a+bi$ の形で答えが要るときは、分母の共役を分子と分母に掛けます。

$$\frac{z_1}{z_2}=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{z_1\overline{z_2}}{|z_2{|}^2}$$

分母が $|z_2{|}^2$ という実数になり、あとは実数で割るだけになります^[1]。

割り算が定義できるのは $z_2\ne 0$ のときだけ。$|z_2{|}^2=0$ になると分母が消えます。

例：$\frac{3+2i}{7-3i}$

分母の共役は $7+3i$ です。分子と分母の両方に掛けます。

$$\frac{(3+2i)(7+3i)}{(7-3i)(7+3i)}=\frac{21+9i+14i+6i^2}{49+9}=\frac{15+23i}{58}$$

$\frac{15}{58}+\frac{23}{58}i$ になります。分母の $58$ は $|7-3i{|}^2=49+9$ そのもの。

極形式なら引き算で済む

共役を掛ける手は、実部と虚部が要るときの手です。角度が知りたいだけなら極形式のほうが速い。

$\frac{1}{z_2}$ を掛けると、$z_1$ を $-{\theta }_2$ だけ回して $\frac{1}{r_2}$ 倍することになります^[1]。掛け算のちょうど逆の動きです。

$z_2$ を掛けてから $z_2$ で割ると元へ戻る。回して伸ばしたものを、戻して縮めているだけの話になります。

例：極形式のまま割る

$z_1=2(\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ })$、$z_2=\sqrt{2}(\cos 45^{\circ }+i\sin 45^{\circ })$ とします。

絶対値は $\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$、偏角は $120^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$ です。

$$\frac{z_1}{z_2}=\sqrt{2}(\cos 75^{\circ }+i\sin 75^{\circ })$$

$75^{\circ }$ の値を覚えていなくても、この形のまま答えにできます。実部と虚部へ落とすと $\cos 75^{\circ }$ の計算が要るので、かえって遠回りになる。

例：$\frac{1}{z}$ が表す動き

$z_1=1$ とした場合です。絶対値は $\frac{1}{|z|}$、偏角は $-\arg z$ になります。

長さが逆数になり、実軸で折り返される。単位円に関する反転と、実軸の折り返しを続けた動きにあたります。

$$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$$

$|z|=1$ なら $\frac{1}{z}=\bar{z}$ です。単位円の上では、逆数と共役が同じ点になります^[3]。

例：$i$ で割る

$\frac{1}{i}=-i$ です。$i$ の偏角が $90^{\circ }$ なので、割ると $-90^{\circ }$ 回ります。

$\frac{z}{i}$ は $-i$ を掛けたものと同じで、時計回りに $90^{\circ }$ 回した点になります。

$z=2+3i$ なら $\frac{2+3i}{i}=(2+3i)(-i)=-2i+3=3-2i$。実部と虚部が入れかわって符号が付く形です。

例：2 点のなす角を出す

$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$ の偏角は、$\alpha$ から $\beta$ へ向かう矢印と、$\alpha$ から $\gamma$ へ向かう矢印のなす角です^[3]。

割り算が偏角の差になるので、2 本の矢印の角度差がそのまま出てきます。

$\alpha =0$、$\beta =2$、$\gamma =1+\sqrt{3}i$ なら $\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$ で、偏角は $60^{\circ }$。角 $\beta \alpha \gamma$ が $60^{\circ }$ だと分かります。

例：割り算と累乗を混ぜる

$\frac{(1+i{)}^6}{(1-i{)}^4}$ を出します。$1+i$ の絶対値は $\sqrt{2}$、偏角は $45^{\circ }$。$1-i$ は絶対値 $\sqrt{2}$、偏角 $-45^{\circ }$ です。

分子は絶対値 $(\sqrt{2}{)}^6=8$、偏角 $270^{\circ }$。分母は絶対値 $(\sqrt{2}{)}^4=4$、偏角 $-180^{\circ }$ になります。

割ると絶対値 $\frac{8}{4}=2$、偏角 $270^{\circ }-(-180^{\circ })=450^{\circ }$。$360^{\circ }$ を引いて $90^{\circ }$ です。

$$\frac{(1+i{)}^6}{(1-i{)}^4}=2(\cos 90^{\circ }+i\sin 90^{\circ })=2i$$

展開せずに済みました。累乗と割り算が混ざるほど、極形式が効きます^[2]。

例：偏角の差が $360^{\circ }$ をまたぐ

$\arg z_1=30^{\circ }$、$\arg z_2=300^{\circ }$ なら、差は $-270^{\circ }$ です。

$0^{\circ }$ 以上 $360^{\circ }$ 未満でそろえるなら $360^{\circ }$ を足して $90^{\circ }$。同じ点を指しますが、書き方が変わります。

偏角は $360^{\circ }$ ずらしても同じ点なので、答えの範囲を先に決めておくと迷いません^[2]。

補足

$\frac{z_1}{z_2}$ が実数になるのは、$z_1$ と $z_2$ の偏角が等しいか $180^{\circ }$ 違うときです。原点と 2 点が一直線に並ぶ形。

純虚数になるのは偏角の差が $\pm 90^{\circ }$ のときで、こちらは 2 本の矢印が直角に交わる形になります。

商の偏角を見るだけで、平行と垂直が判定できる。図形の問題で割り算が出てくるのは、この読み替えが効くためです。

割り算は偏角の引き算。この一行を先に置いておくと、極形式の計算はほとんど暗算で進みます。

参考