複素数の不等式が表す領域｜数学Ⅲ

等式が線を描くのに対して、不等式は面を塗ります。 $∣ z - α ∣ = r$ が円周そのものを表すなら、 $∣ z - α ∣ \leq r$ はその円周と内側をまとめた円板。

$∣ z - α ∣ \leq r$

$z$ から $α$ までの距離が $r$ を超えない、と読めば形はすぐ決まります。中心 $α$ 、半径 $r$ の円の内部と周。

半径を伸び縮みさせても、塗られる場所は円板のまま。中心からの距離という 1 つの量だけで、内と外が分かれています。

境界を含むかどうか

$\leq$ と $<$ の違いは、円周そのものを入れるかどうかです。

∣ z - α ∣ \leq r

は円周を含む。図では実線で描く。

∣ z - α ∣ < r

は円周を含まない。図では破線で描く。

∣ z - α ∣ \geq r

は円周と、その外側すべて。

答案では線の種類まで指定されることが多いので、不等号を見た時点で実線か破線かを決めておくと迷いません。

境界が入るかどうかは、最大値や最小値を答えるときにも効いてきます。周を含まない領域では、いちばん外側の値に到達できない。「 $2$ 未満」と「 $2$ 以下」は図の上では線 1 本の差ですが、答えの書き方は変わります。

距離ではなく向きを縛ると、原点から広がる形が出ます。

$\frac{π}{6} \leq ar g z \leq \frac{π}{3}$

これは原点から $30$ 度の方向と $60$ 度の方向に伸びる 2 本の半直線に挟まれた部分。角度だけの条件なので、原点からいくら遠ざかっても条件は変わりません。

開き具合を変えると扇の広さが変わります。原点そのものは $ar g$ が定まらないので、この手の領域からは外れる。答案では原点を除くと書き添えておく場面です。

$z = x + y i$ とおいたときの $x$ や $y$ に条件を付けると、まっすぐな境界が出ます。

$Re (z) \geq 1 は x \geq 1$

これは直線 $x = 1$ の右側。2 つ重ねて $1 \leq Re (z) \leq 3$ とすれば、幅 $2$ の帯になります。

$∣ z - α ∣ \leq ∣ z - β ∣$ は、 $α$ のほうが近いか等しい点の集まりです。等号だけを見れば $α$ と $β$ を結ぶ線分の垂直二等分線。不等号にすると、その線で分けた $α$ 側の半平面になります。

境界が直線になるので、円や扇形と組み合わせても扱いやすい条件。

条件が 2 つ以上並んだら、それぞれの領域を描いて重なりをとります。

円のほうは $\leq$ なので周を実線、扇形のほうは $<$ なので 2 本の半直線を破線で描いています。共通部分だけが濃く残る。この描き分けが答案の点になります。

次の 2 つを同時に満たす領域を図示します。

$1 \leq ∣ z ∣ \leq 2, 0 \leq ar g z \leq \frac{π}{2}$

前半は原点を中心とする半径 $1$ の円と半径 $2$ の円に挟まれた輪。後半は実軸と虚軸の正の向きに挟まれた、第 1 象限ぶんの扇形です。

重ねると、第 1 象限にある幅 $1$ の弧状の帯が残ります。境界はすべて等号を含むので、 $2$ 本の円弧と $2$ 本の線分をどれも実線で描く。

原点を除くという但し書きは要りません。 $∣ z ∣ \geq 1$ が原点をあらかじめ外しているためです。 $ar g$ の条件だけが並んでいる問題との違いになります。

$∣ z - 2∣ \geq 2$ が表す領域はどれでしょうか。

__RESULT__

$z$ と $2$ の距離が $2$ 以上、と読みます。距離が $2$ を超える点は円の外側、ちょうど $2$ の点は円周そのもの。等号が入っているので、外部と周の両方が答えになります。

形が読みにくい不等式は、 $z = x + y i$ を代入して整理すると正体が見えます。

$∣ z - 1∣ \leq 2∣ z + 1∣$

両辺を $2$ 乗して展開すると

$(x - 1)^{2} + y^{2} \leq 4 {(x + 1)^{2} + y^{2}}$

となり、整理して $3 x^{2} + 3 y^{2} + 10 x + 3 \geq 0$ 、つまり次の形になります。

$(x + \frac{5}{3})^{2} + y^{2} \geq \frac{16}{9}$

中心 $- \frac{5}{3}$ 、半径 $\frac{4}{3}$ の円の外側と周。もとの式からは想像しにくい答えですが、代入して 2 乗すれば機械的に出せます。

領域の問題は、条件を 1 つずつ図形に翻訳し、境界の実線と破線を決め、最後に重ねる。この 3 手で片づきます。

翻訳が難しいときだけ $x + y i$ に戻す。先に代入から入ると計算が膨らむので、まず幾何で読もうとする姿勢が近道になります。

等式が線を描くのに対して、不等式は面を塗ります。距離の条件は円板、偏角の条件は扇形、実部や虚部の条件は半平面。不等号が ≤ か < かで境界を実線に描くか破線に描くかが決まり、条件が並んだときは重なりだけを残します。形が読みにくい式は x + yi を代入して 2 乗すると正体が見えました。