複素数で三角形の面積を出す｜虚部が外積になる

原点と $\alpha$ と $\beta$ を頂点とする三角形の面積は、次の式で出ます^[2]。

$$S=\frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )\right|$$

$\bar{\alpha }\beta$ を計算して、虚部だけをとって半分にする。座標に直さずに面積が出ます。

$\bar{\alpha }\beta$ に 2 つの量が入っている

$\alpha =a_1+a_{2}i$、$\beta =b_1+b_{2}i$ として、実際に掛けてみます。

$$\bar{\alpha }\beta =(a_1-a_{2}i)(b_1+b_{2}i)=(a_1{b}_1+a_2{b}_2)+(a_1{b}_2-a_2{b}_1)i$$

実部が $a_1{b}_1+a_2{b}_2$、虚部が $a_1{b}_2-a_2{b}_1$。前者はベクトルの内積、後者は 2 つのベクトルが張る平行四辺形の符号つき面積です。

三角形はその半分なので、虚部を $2$ で割れば答えになる。共役をとらずに $\alpha \beta$ を掛けると、この分かれ方が崩れます。

一般の三角形へ

頂点が $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ で原点を含まないときは、$\alpha$ を原点へ運んでから同じ式を当てます。

$$S=\frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}(\overline{(\beta -\alpha )}(\gamma -\alpha ))\right|$$

平行移動しても面積は変わらないので、この置きかえで一般の場合が片づく。どの頂点を原点へ運んでも同じ値になります。

例：数値で出す

$\alpha =1+2i$、$\beta =5+i$、$\gamma =3+6i$ の三角形を計算します。

$\beta -\alpha =4-i$、$\gamma -\alpha =2+4i$ です。前者の共役は $4+i$。

$$(4+i)(2+4i)=8+16i+2i+4i^2=4+18i$$

虚部が $18$ なので $S=9$ になります。方眼に置いて数えても $9$ で、値が合う。

符号は回る向きを表す

絶対値を外した $\frac{1}{2}\mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )$ は、符号つきの面積です^[1]。

3 点を反時計回りにたどれば正、時計回りなら負になります^[4]。面積そのものが要るなら絶対値をとる。

向きが要る問題では、絶対値を外したまま使います。凸か凹か、内側か外側かの判定に使える量^[3]。

例：向きを入れかえる

$\alpha =0$、$\beta =2$、$\gamma =1+i$ とします。$\bar{\beta }\gamma =2(1+i)=2+2i$ で虚部は $2$、符号つき面積は $1$。

$\beta$ と $\gamma$ を入れかえると $\overline{(1+i)}\cdot 2=2-2i$ で虚部は $-2$、符号つき面積は $-1$ になります。

大きさは同じで符号だけが逆。頂点を並べる順番が、そのまま向きの情報になっている。

例：3 点が一直線にあるとき

$\alpha =1$、$\beta =3$、$\gamma =5$ を入れます。$\beta -\alpha =2$、$\gamma -\alpha =4$ です。

$\overline{2}\cdot 4=8$ で虚部は $0$。面積が $0$ になり、三角形がつぶれています。

つまり $\mathrm{Im}(\overline{(\beta -\alpha )}(\gamma -\alpha ))=0$ が 3 点の共線条件です。面積の式が、そのまま判定式として使える。

例：平行四辺形の面積

$0$、$\alpha$、$\alpha +\beta$、$\beta$ を頂点とする平行四辺形なら、三角形 2 つ分です。

$$S=\left|\mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )\right|$$

$\frac{1}{2}$ が消えるだけ。$\alpha =4+i$、$\beta =1+3i$ なら $\bar{\alpha }\beta =(4-i)(1+3i)=4+12i-i+3=7+11i$ で、面積は $11$ です。

例：四角形の面積

頂点を $z_1$ から $z_4$ まで反時計回りに並べたときは、隣どうしの積を足していきます^[3]。

$$S=\frac{1}{2}\left|\mathrm{Im}(\overline{z_1}{z}_2+\overline{z_2}{z}_3+\overline{z_3}{z}_4+\overline{z_4}{z}_1)\right|$$

$0$、$1$、$1+i$、$i$ の正方形で試します。各項の虚部は $0$、$1$、$1$、$0$ で、合計 $2$。面積は $1$ になります。

頂点の数がいくつでも同じ形で書けます。最後の項で $z_1$ へ戻すところを落としやすい。

例：座標の公式との対応

座標で書いた面積の公式は $\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ です^[4]。

これは $\frac{1}{2}|\mathrm{Im}(\bar{\alpha }\beta )|$ の中身をそのまま書き下した形。別々の公式ではなく、同じものを違う記号で書いています。

複素数のまま計算すると、平行移動と回転を式の上で扱えるところが違い。座標に戻す手間が省けます。

検算のしかた

方眼の上に 3 点を置き、まわりを長方形で囲んで余りの直角三角形を引きます。手で数えた値と式の値がそろえば安心です。

面積が負や $0$ で出たときは、まず順番と共線を疑う。$0$ なら 3 点が一直線に並んでいます。

よくある誤り

内積は実部、面積は虚部。$\bar{\alpha }\beta$ という 1 つの積が両方を抱えているので、必要なほうをとり出せば済みます。

参考