外心はどこに来るか？複素数で垂直二等分線を 2 本立てる

外心は 3 頂点から等しい距離にある点です^[2]。複素数では次の 1 行で書けます。

$$|z-\alpha |=|z-\beta |=|z-\gamma |$$

等式が 2 本入っているので、垂直二等分線を 2 本立てて交点を求める形になります^[2]。

等式 1 本が垂直二等分線

$|z-\alpha |=|z-\beta |$ は、$\alpha$ と $\beta$ から等距離の点の集合です。線分 $\alpha \beta$ の垂直二等分線になります。

両辺を $2$ 乗して $|w{|}^2=w\bar{w}$ に置きかえると、根号が消えて 1 次式になります^[3]。

$$\begin{array}{rl}|z{|}^2-\bar{\alpha }z-\alpha \bar{z}+|\alpha {|}^2& =|z{|}^2-\bar{\beta }z-\beta \bar{z}+|\beta {|}^2\\ (\bar{\beta }-\bar{\alpha })z+(\beta -\alpha )\bar{z}& =|\beta {|}^2-|\alpha {|}^2\end{array}$$

$|z{|}^2$ が両辺から消えるところが要点です。残るのは $z$ と $\bar{z}$ の 1 次式で、これが直線を表します。

2 本立てて連立する

$|z-\alpha |=|z-\beta |$ と $|z-\alpha |=|z-\gamma |$ を並べます。1 次式が 2 本そろう。

$z=x+yi$ と置けば、$x$ と $y$ の連立 1 次方程式になります。3 点が一直線に並んでいなければ、解はただ 1 つ。

一直線に並ぶと 2 本の垂直二等分線が平行になり、交わりません。三角形にならない場合は外心もありません。

例：$0$、$6$、$2+4i$ の外心

$|z|=|z-6|$ から始めます。$2$ 乗して展開すると $|z{|}^2=|z{|}^2-6z-6\bar{z}+36$。

$z+\bar{z}=2x$ なので $12x=36$、つまり $x=3$ です。線分 $0$–$6$ の垂直二等分線になりました。

次に $|z|=|z-2-4i|$ を立てます。$|2+4i{|}^2=20$ なので、$(2-4i)z+(2+4i)\bar{z}=20$。

$z=x+yi$ を入れると $4x+8y=20$、つまり $x+2y=5$ です。$x=3$ を代入して $y=1$。

外心は $3+i$ になります。半径は $|3+i|=\sqrt{10}$。

例：半径をたしかめる

$|6-(3+i)|=|3-i|=\sqrt{10}$、$|2+4i-(3+i)|=|-1+3i|=\sqrt{10}$ です。

3 つとも $\sqrt{10}$ でそろいました。外接円の半径がこの値になります。

半径を出しておくと、円の方程式 $|z-(3+i)|=\sqrt{10}$ がそのまま書けます。

直角三角形なら中点で終わる

直角三角形では、外心が斜辺の中点になります^[2]。連立を解かずに済む。

$0$、$4$、$4i$ を頂点にとると、原点で直角です。斜辺は $4$ と $4i$ を結ぶ線分。

中点は $\frac{4+4i}{2}=2+2i$ です。3 頂点との距離はどれも $2\sqrt{2}$ になります。

半円に内接する角が直角になる関係の裏返しで、斜辺が直径になっています。

外接円を単位円にとる

問題の側で三角形が動かせるなら、外接円を単位円に合わせると計算が軽くなります^[1]。

このとき $|\alpha |=|\beta |=|\gamma |=1$ で、外心は原点そのもの。求める手間が消えます。

さらに $|z|=1$ の上では $\bar{z}=\frac{1}{z}$ が使えるので、共役が分数に化けて式が短くなります^[1]。

例：単位円にのせて確かめる

$\alpha =1$、$\beta =i$、$\gamma =-1$ とします。どれも絶対値が $1$ です。

外心は $0$ のはず。$|0-1|=1$、$|0-i|=1$、$|0+1|=1$ で、確かに等距離になりました。

半径は $1$。$\beta$ が半円の上にあるので、$\alpha$ と $\gamma$ を結ぶ線分が直径で、$\beta$ の角が直角です。

行列式で一気に書く

一般の 3 点に対しては、外心を行列式の比として書く形もあります^[1]。

$$\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \alpha \bar{\alpha }& 1\\ \beta & \beta \bar{\beta }& 1\\ \gamma & \gamma \bar{\gamma }& 1\end{array}\right|÷\left|\begin{array}{ccc}\alpha & \bar{\alpha }& 1\\ \beta & \bar{\beta }& 1\\ \gamma & \bar{\gamma }& 1\end{array}\right|$$

分母は 3 点の共線条件に現れる行列式です。一直線に並ぶと $0$ になり、外心が存在しないことと合います。

手計算では連立のほうが速い。式の形として押さえておく価値のある表し方です。

検算

出た点が三角形のどこにあるかを見ます。鋭角なら内部、直角なら斜辺の上、鈍角なら外部に出るはずです^[2]。

内部に来るはずの三角形で外へ飛んでいれば、連立のどこかで符号を落としています。

半径を出して、3 頂点すべてでそろうかも確かめられます。1 つだけずれていれば、その頂点の式に誤りがある。

外心は「等距離」という 1 つの言葉から出ます。距離を $2$ 乗して $|z{|}^2$ を消すところまで来れば、あとは連立 1 次方程式です。

出典