三角形の形は複素数の等式で決まる｜直角二等辺かどうかも

三角形 $\alpha \beta \gamma$ の形は、次の商ひとつで決まります。

$$w=\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }$$

絶対値が $\frac{|\alpha \gamma |}{|\alpha \beta |}$ という辺の比、偏角が角 $\beta \alpha \gamma$ です^[1]。比と角の両方を 1 つの複素数が抱えています。

$w=i$ なら、角が $90^{\circ }$ で 2 辺の長さが等しい。直角二等辺三角形だと 1 行で分かります。

値ごとに形が決まる

絶対値と偏角を別々に読むと、条件が素直に並びます。

$|w|=1$ かつ純虚数なら $w=\pm i$ です。2 つの条件が重なった形が直角二等辺になります^[3]。

符号の違いは、$\gamma$ が $\alpha \beta$ のどちら側にあるかを表します。形は同じで、向きが裏返る。

例：直角二等辺かを調べる

$\alpha =1+2i$、$\beta =4+3i$、$\gamma =5i$ とします。

$\beta -\alpha =3+i$、$\gamma -\alpha =-1+3i$ です。分母を実数化して割ります。

$$w=\frac{(-1+3i)(3-i)}{10}=\frac{10i}{10}=i$$

$w=i$ なので直角二等辺です。角度も長さも別々に測らずに済みました。

$\gamma$ を $-1+3i$ 回転させた位置と読むこともできます。$i$ を掛けることが $90^{\circ }$ の回転だからです。

正三角形の条件を式に直す

$w$ が $\cos 60^{\circ }\pm i\sin 60^{\circ }$ になる条件を、対称な形へ書き直します。

この 2 つの値は $x^2-x+1=0$ の解です。$w$ を代入して分母を払います。

$$(\gamma -\alpha {)}^2-(\gamma -\alpha )(\beta -\alpha )+(\beta -\alpha {)}^2=0$$

展開して整理すると、$\alpha$ だけが特別扱いされない形になります。

$${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$$

どの頂点から見ても同じ式です。$w$ の形では $\alpha$ が基準になっていましたが、その偏りが消えました。

例：正三角形の条件を数値で見る

$\alpha =0$、$\beta =1$、$\gamma =\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ とします。$1$ 辺が $1$ の正三角形です。

左辺は $0+1+{\gamma }^2$ で、${\gamma }^2=\cos 120^{\circ }+i\sin 120^{\circ }=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。合わせて $\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$ です。

右辺は $0+\gamma +0=\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$。両辺が合いました。

$\gamma =i$ に変えると、左辺が $0$、右辺が $i$ でずれます。正三角形ではないと判定できる。

相似の条件

2 つの三角形が同じ向きに相似なのは、それぞれの商が等しいときです^[1]。

$$\frac{\gamma -\alpha }{\beta -\alpha }=\frac{{\gamma }^{\prime }-{\alpha }^{\prime }}{{\beta }^{\prime }-{\alpha }^{\prime }}$$

商が角と辺の比を両方持っているので、この 1 本で対応する角の相等と辺の比例がそろいます^[2]。

向きが逆の相似では、右辺の共役をとった形になります。鏡に映した図形が該当する。

例：相似かどうか調べる

$0$、$1$、$i$ の三角形と、$3$、$5$、$3+2i$ の三角形を比べます。

前者の商は $\frac{i-0}{1-0}=i$。後者は $\frac{(3+2i)-3}{5-3}=\frac{2i}{2}=i$ です。

一致したので同じ向きに相似。後者は前者を $2$ 倍して $3$ だけずらした図形になります。

$3+2i$ を $3-2i$ に変えると商が $-i$ になり、共役の関係。向きが逆の相似で、実軸に関して裏返っています。

例：二等辺三角形の判定

$\alpha =2$、$\beta =5+i$、$\gamma =3+3i$ とします。

$\beta -\alpha =3+i$、$\gamma -\alpha =1+3i$ です。どちらも絶対値が $\sqrt{10}$。

商の絶対値が $1$ なので $|\alpha \beta |=|\alpha \gamma |$ の二等辺三角形です。頂角は $\alpha$ にあります。

商そのものは $\frac{(1+3i)(3-i)}{10}=\frac{6+8i}{10}$ で、純虚数ではありません。直角ではない二等辺です。

例：頂点の順番を変える

同じ 3 点でも、どの頂点を基準にするかで商が変わります。$\frac{\beta -\gamma }{\alpha -\gamma }$ なら $\gamma$ の角を見ることになる。

正三角形の条件 ${\alpha }^2+{\beta }^2+{\gamma }^2=\alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha$ は順番に依存しません。3 文字を入れかえても式が同じ形に戻ります。

判定したい角が決まっているなら商、形そのものを問うなら対称式。使い分けると計算が短くなります。

よくあるミス

商をとって、絶対値と偏角を別々に読む。この 2 段で、二等辺も直角も正三角形も相似も同じ道具で判定できます。

出典