1 の n 乗根を全部足すとなぜ 0 になるのか

$z^n=1$ の解は $n$ 個あり、単位円周上に等間隔で並びます。$1$ を出発点として、円を $n$ 等分した位置。結んでいくと正 $n$ 角形になります。

$n$ が変わっても、頂点のひとつは必ず $1$ に居ます。$z=1$ はどんな $n$ でも $z^n=1$ を満たすため。残りの頂点が、$n$ に応じて円周を分け合います。

ω の累乗で並べる

$\omega =\cos \frac{2\pi }{n}+i\sin \frac{2\pi }{n}$ とおくと、$n$ 個の解は $\omega$ の累乗で書けます。

$$1,\omega ,{\omega }^2,\dots ,{\omega }^{n-1}$$

ド・モアブルの定理から ${\omega }^k$ の偏角は $\frac{2\pi k}{n}$。掛けるたびに $\frac{1}{n}$ 周ずつ進み、$n$ 回で一周して $1$ に戻ります。

全部足すと 0 になる

この $n$ 個をすべて足すと、$n\ge 2$ ならいつでも $0$ です。図で見るのがいちばん早い。

長さの等しい矢印を、向きを $\frac{1}{n}$ 周ずつ変えながら継いでいきます。$n$ 本目を継ぎ終えると、出発点にぴったり戻る。閉じた正 $n$ 角形になるので、和は $0$ です。

式でも同じ結論になる

図に頼らない道も 2 本あります。ひとつは等比数列の和。公比 $\omega$、初項 $1$、項数 $n$ なので

$$1+\omega +\cdots +{\omega }^{n-1}=\frac{{\omega }^n-1}{\omega -1}$$

分子は ${\omega }^n=1$ より $0$。$n\ge 2$ なら $\omega \ne 1$ で分母は $0$ でないので、全体が $0$ になります。

もうひとつは解と係数の関係です。$n$ 個の解は $z^n-1=0$ の解で、この多項式には $z^{n-1}$ の項がありません。係数が $0$ ということは、解の総和も $0$。

図で言えば、正 $n$ 角形の重心が中心にあるという事実そのものです。

全部掛けると 1 か -1 になる

こんどは積を見ます。因数分解の形

$$z^n-1=(z-1)(z-\omega )\cdots (z-{\omega }^{n-1})$$

で $z=0$ とおくと、左辺は $-1$、右辺は $(-1{)}^n$ に解の積を掛けたもの。したがって解の積は $(-1{)}^{n+1}$ です。

$n$ が奇数なら $1$、偶数なら $-1$。$n=2$ の解 $1,-1$ は積が $-1$、$n=3$ の解は積が $1$ で、たしかに合っています。

積の絶対値はどれも $1$ なので $1$ のまま。あとは偏角を足すだけです。偏角の総和は

$$0+\frac{2\pi }{n}+\frac{4\pi }{n}+\cdots +\frac{2(n-1)\pi }{n}=(n-1)\pi$$

で、$n$ が奇数なら $2\pi$ の倍数、偶数なら $\pi$ の奇数倍。行き先が $1$ か $-1$ に分かれる理由がここにあります。

計算で使う

和が $0$ という事実は、値を求める問題で直接効きます。$n=3$ のとき $1+\omega +{\omega }^2=0$ なので、${\omega }^2+\omega =-1$。

たとえば $(1-\omega )(1-{\omega }^2)$ を展開すると $1-(\omega +{\omega }^2)+{\omega }^3$ で、${\omega }^3=1$ を入れて $1+1+1=3$ になります。

一般の $n$ でも $\omega$ の高い累乗が出たら、指数を $n$ で割った余りに落とす。${\omega }^{100}$ は $n=7$ なら ${\omega }^2$ と同じ値です。

6 乗根を書き下してみる

$n=6$ なら偏角は $60$ 度きざみです。書き並べると次の $6$ 個。

$$1,\frac{1+\sqrt{3}i}{2},\frac{-1+\sqrt{3}i}{2},-1,\frac{-1-\sqrt{3}i}{2},\frac{1-\sqrt{3}i}{2}$$

実部を全部足すと $1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}-1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=0$、虚部も打ち消し合って $0$ になります。積のほうは $n$ が偶数なので $-1$。実際、実軸に関して対称な組が $\pm 1$ を残して打ち消し合う形です。

cos 72 度を求める

和が $0$ という事実は、具体的な三角比を出す道具にもなります。$n=5$ で試します。

$1+\omega +{\omega }^2+{\omega }^3+{\omega }^4=0$ の実部だけを見ると、$\omega$ と ${\omega }^4$、${\omega }^2$ と ${\omega }^3$ が共役なので

$$1+2\cos 72^{\circ }+2\cos 144^{\circ }=0$$

になります。ここで $c=\cos 72^{\circ }$ とおき、$2$ 倍角の公式で $\cos 144^{\circ }=2c^2-1$ に直す。

$$1+2c+2(2c^2-1)=0⟹4c^2+2c-1=0$$

$c>0$ の解をとって $\cos 72^{\circ }=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$ が出ます。正五角形と黄金比のつながりが、この式から顔を出す。

円周を分ける、という一点

$1$ の $n$ 乗根の性質は、どれも「単位円を $n$ 等分した点」という一行から出てきます。

和が $0$ なのは重心が中心にあるから。積が $\pm 1$ なのは偏角の総和が $\pi$ の整数倍になるから。式を覚え直すより、正 $n$ 角形の絵を思い出すほうが早い場面が多くなります。