変換 w = βz + γ はなにを表しているか？

$w=\beta z+\gamma$ は、回転と拡大と平行移動を 1 本にまとめた式です。$\beta \ne 0$ とします。

$\beta$ の絶対値が倍率、偏角が回転角。$\gamma$ が最後のずらしにあたります^[1]。

3 つの動きが 1 回の掛け算と 1 回のたし算に収まる。この形を見たら、まず $\beta$ を極形式で見ます。

$\beta$ を分解して読む

$\beta =r(\cos \theta +i\sin \theta )$ と書けば、$\beta z$ は $z$ を原点まわりに $\theta$ 回して $r$ 倍する動きです^[2]。

長さがすべて $r$ 倍、角度はどこでも変わらない。図形は相似のまま写ります^[3]。

そのあと $\gamma$ を足して位置を直す。順番は回してから足すので、入れかえると別の変換になります。

形は変わらず、大きさと向きと位置だけが動きます。角度が保たれるので、直角は直角のまま写る。

例：$w=2iz+3-i$

$\beta =2i$ です。絶対値は $2$、偏角は $90^{\circ }$。

原点まわりに $90^{\circ }$ 回して $2$ 倍し、そのあと $3-i$ だけずらす動きになります。

$z=1$ を入れると $w=2i+3-i=3+i$。$z=i$ なら $w=2i^2+3-i=1-i$ です。

中心はどこにあるか

$\beta \ne 1$ のとき、この変換にも動かない点が 1 つだけあります^[1]。

$c=\beta c+\gamma$ を解けば出ます。

$$c=\frac{\gamma }{1-\beta }$$

この $c$ を使うと、式が中心つきの形に書き直せる^[2]。

$$w-c=\beta (z-c)$$

中心から見た矢印が $\beta$ 倍になるだけ、という読み方になります。平行移動の成分が消えて、動きが 1 つにまとまる。

例：中心を求める

$w=(1+i)z+2$ の中心を出します。$\beta =1+i$ なので $1-\beta =-i$。

$$c=\frac{2}{-i}=\frac{2i}{-i\cdot i}=2i$$

$c=2i$ です。代入して確かめると $(1+i)(2i)+2=2i-2+2=2i$ となり、確かに動きません。

倍率は $|1+i|=\sqrt{2}$、回転角は $45^{\circ }$。$2i$ を中心に $45^{\circ }$ 回して $\sqrt{2}$ 倍する変換になります。

$\beta =1$ は平行移動

$\beta =1$ を入れると $w=z+\gamma$ になり、回転も拡大も起きません。

このとき $1-\beta =0$ なので、中心の式が使えない。$\gamma \ne 0$ なら動かない点は 1 つもありません。

平行移動だけが、中心を持たない例外になります。ほかの $\beta$ ではかならず中心が 1 つ残る。

例：$\beta$ が実数のとき

$\beta$ が正の実数なら回転角が $0$ で、拡大か縮小だけになります^[3]。

$w=3z-4$ なら中心は $\frac{-4}{1-3}=2$。$2$ を中心に $3$ 倍へ広げる動きです。

$\beta$ が負の実数なら偏角が $180^{\circ }$ なので、中心に関して反対側へ移ってから伸びます^[3]。$\beta =-1$ はちょうど中心対称。

例：$|\beta |=1$ のとき

絶対値が $1$ なら倍率が $1$ で、長さが変わりません。回転そのものになります^[4]。

$w=iz+1-i$ なら中心は $\frac{1-i}{1-i}=1$。$1$ を中心とする $90^{\circ }$ の回転です。

例：三角形が写る先

$w=(1+i)z$ で三角形 $0$、$2$、$2+i$ を写します。中心は原点です。

$0\to 0$、$2\to 2+2i$、$2+i\to (1+i)(2+i)=2+i+2i-1=1+3i$ になります。

辺の長さがすべて $\sqrt{2}$ 倍。もとの直角がそのまま直角で残ります。

例：2 つの変換を続ける

$w_1={\beta }_{1}z+{\gamma }_1$ のあとに $w_2={\beta }_2{w}_1+{\gamma }_2$ を当てます。

まとめると $w_2={\beta }_1{\beta }_{2}z+({\beta }_2{\gamma }_1+{\gamma }_2)$ で、同じ形に戻る。倍率は掛け算、回転角は足し算になります^[1]。

$2$ 倍と $3$ 倍を続ければ $6$ 倍、$30^{\circ }$ と $45^{\circ }$ を続ければ $75^{\circ }$ です。中心は 2 つのどちらとも違う点へ移ります。

例：逆の変換

$w=\beta z+\gamma$ を $z$ について解くと、$z=\frac{w-\gamma }{\beta }$ です。

$\frac{1}{\beta }$ を掛ける形なので、倍率が逆数、回転角が符号反転になります。中心は同じ場所に残る。

$w=2iz+3-i$ なら、逆は $z=\frac{w-3+i}{2i}$。倍率 $\frac{1}{2}$、回転 $-90^{\circ }$ の変換です。

よくあるミス

$\beta$ の極形式を見れば倍率と角が出て、$\frac{\gamma }{1-\beta }$ を計算すれば中心が出る。1 次式のままでは見えないものが、この 2 手で全部そろいます。

出典