コサインの和は、複素数に直すと等比数列になる

$\cos \theta +\cos 2\theta +\cdots +\cos n\theta$ を直接足す手はありません。$\cos$ どうしに足し算の公式がないためです。

$\sin$ の和を虚部として抱き合わせると、等比数列に化けます^[1]。

$$C+iS=\sum _{k=0}^n(\cos k\theta +i\sin k\theta )=\sum _{k=0}^n{z}^k$$

$z=\cos \theta +i\sin \theta$ とおいた形です。右辺は公比 $z$ の等比数列の和になります。

抱き合わせると足せる

$\cos k\theta$ と $\sin k\theta$ は、別々に見ると規則のない数の列です。

組にして $\cos k\theta +i\sin k\theta$ にすると、ド・モアブルの定理から $z^k$ と書けます。$k$ が増えるたびに $z$ が 1 つ掛かる。

等比数列なので和の公式が使えます^[2]。$z\ne 1$ のとき、次の形です。

$$\sum _{k=0}^n{z}^k=\frac{1-z^{n+1}}{1-z}$$

あとは実部と虚部に分ければ、$C$ と $S$ が同時に出ます。1 回の計算で 2 つの和が片づく。

例：$\theta$ の倍数だけを足す

$z=\cos \theta +i\sin \theta$ で和の公式を当てます。分子と分母を整理すると、きれいな形になります。

$1-z^m=-z^{m/2}(z^{m/2}-z^{-m/2})$ と書け、括弧の中は $2i\sin \frac{m\theta }{2}$ です。

分子と分母で同じ変形をすると、$2i$ が約分されます。

$$C+iS=\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}\left(\cos \frac{n\theta }{2}+i\sin \frac{n\theta }{2}\right)$$

実部と虚部を読みます。

$$C=\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}\cos \frac{n\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}},S=\frac{\sin \frac{(n+1)\theta }{2}\sin \frac{n\theta }{2}}{\sin \frac{\theta }{2}}$$

$\theta$ が $360^{\circ }$ の整数倍だと分母が $0$ になります。そのときは全部の項が $1$ なので、$C=n+1$、$S=0$ です。

例：数値で確かめる

$n=2$、$\theta =60^{\circ }$ とします。直接足すと $\cos 0^{\circ }+\cos 60^{\circ }+\cos 120^{\circ }=1+\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1$。

公式に入れます。$\frac{(n+1)\theta }{2}=90^{\circ }$、$\frac{n\theta }{2}=60^{\circ }$、$\frac{\theta }{2}=30^{\circ }$ です。

$$C=\frac{\sin 90^{\circ }\cos 60^{\circ }}{\sin 30^{\circ }}=\frac{1\times \frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$$

合いました。$S$ のほうは $\frac{1\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}=\sqrt{3}$ で、$0+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}$ と一致します。

公比が付いても同じ手が効く

$\sum a^k\cos k\theta$ のように係数が等比で減る場合も、抱き合わせれば片づきます^[1]。

$$C+iS=\sum _{k=0}^n(az{)}^k$$

公比が $az$ に変わるだけ。$|az|=|a|$ なので、$|a|<1$ なら $n$ を無限に飛ばせます^[3]。

例：無限に足す

$|a|<1$ とします。$n\to \infty$ で $(az{)}^{n+1}\to 0$ なので、和は $\frac{1}{1-az}$ に落ちます^[2]。

分母の共役を掛けて実部と虚部に分けます。$|1-az{|}^2=1-2a\cos \theta +a^2$ です。

$$C=\frac{1-a\cos \theta }{1-2a\cos \theta +a^2},S=\frac{a\sin \theta }{1-2a\cos \theta +a^2}$$

$\cos$ の無限和と $\sin$ の無限和が、1 つの分数から同時に出ました。

例：$a=\frac{1}{2}$、$\theta =60^{\circ }$

分母を計算します。$1-2\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$ です。

分子は $1-\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{3}{4}$。

$$C=\frac{3/4}{3/4}=1$$

$\cos$ の側は $1$ になりました。$\sin$ の側は $\frac{\frac{1}{2}\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ です。

項を書き出すと $1+0.25-0.125-0.125-0.03125+\dots$ と続き、$1$ に寄っていきます。

例：$\theta$ が特別な値のとき

$\theta =180^{\circ }$ なら $z=-1$ です。$\cos k\theta$ は $1$、$-1$ が交互に並びます。

$C+iS=\sum (-1{)}^k$ で、$n$ が偶数なら $1$、奇数なら $0$ になります。公式の分母 $\sin 90^{\circ }=1$ で計算しても同じ値が出る。

$\theta =0^{\circ }$ だけが分母を $0$ にする例外です。この場合は場合分けして扱います。

つまずきやすいところ

$\cos$ の和は $\sin$ の和と組にすると等比数列になる。単独では手が出ない和が、抱き合わせた瞬間に公式の届く形へ変わります。

出典