複素数のたし算とひき算は平行四辺形と矢印でつかむ

$\alpha +\beta$ は、原点と $\alpha$ と $\beta$ でつくる平行四辺形の、4 つ目の頂点です。

$\beta -\alpha$ のほうは点ではなく矢印を表します。$\alpha$ から $\beta$ へ向かう向きと長さ^[1]。

足し算は図形をつくり、引き算は図形をはかる。役割がはっきり分かれています。

足すと平行四辺形ができる

複素数のたし算は、実部どうし虚部どうしを足すだけです。座標のたし算と同じ形なので、ベクトルのたし算にあたります^[1]。

原点から $\alpha$ へ引いた矢印の先に、$\beta$ の矢印をつなぐ。着いた先が $\alpha +\beta$ です^[4]。

つなぐ順番を変えても同じ点に着きます。$\alpha$ が先でも $\beta$ が先でも、四辺形の対角の頂点は 1 つしかありません。

$\beta$ を動かしても平行四辺形は崩れません。向かい合う 2 辺がいつも同じ矢印を表しているためです。

引くと矢印が残る

$\beta -\alpha$ は、$\alpha$ の位置を原点へずらしたときの $\beta$ の位置にあたります^[1]。

図の上では、$\alpha$ から $\beta$ へ伸びる矢印そのもの。始点の情報が落ちて、向きと長さだけが残ります。

例：2 点間の距離

$\alpha =1+2i$ と $\beta =5-i$ の距離を出します。まず矢印を求める。

$\beta -\alpha =4-3i$ です。この絶対値が距離になります^[2]。

$$|4-3i|=\sqrt{4^2+(-3{)}^2}=5$$

$5$ です。座標で $\sqrt{(5-1{)}^2+(-1-2{)}^2}$ を計算するのと同じ中身で、途中の式が短くなります。

例：平行移動として見る

$z$ に $\gamma$ を足す対応は、平面全体を $\gamma$ の向きへずらす平行移動です^[2]。

$\gamma =2-i$ なら、右へ $2$、下へ $1$ だけ動く。どの点も同じだけ動くので、図形の形と大きさは変わりません。

回転や拡大と違って、動かない点が 1 つもない。$\gamma \ne 0$ ならすべての点が移ります。

例：4 点が平行四辺形かを確かめる

$A(1+i)$、$B(4+2i)$、$C(5+5i)$、$D(2+4i)$ が平行四辺形かどうかを見ます。

$B-A=3+i$、$C-D=3+i$ です。2 つの矢印が一致したので、$AB$ と $DC$ は平行で長さも等しい。

向かい合う 1 組が平行かつ等長なら平行四辺形になります。残りの組を調べなくても決まる。

例：ひし形かどうかを見分ける

同じ 4 点で、隣り合う 2 辺の長さを比べます。$|B-A|=|3+i|=\sqrt{10}$、$|D-A|=|1+3i|=\sqrt{10}$。

等しいのでひし形です。平行四辺形であることが分かっていれば、隣り合う 2 辺だけ調べれば足ります。

対角線の長さがつくる等式

平行四辺形では、2 本の対角線の長さの 2 乗の和が、4 辺の長さの 2 乗の和と等しくなります^[3]。

$$|\alpha +\beta {|}^2+|\alpha -\beta {|}^2=2|\alpha {|}^2+2|\beta {|}^2$$

左が対角線、右が辺です。和と差を両方使うところが特徴で、片方だけでは成り立ちません。

辺の長さから対角線の一方が出せる形なので、片方の対角線が分かればもう片方も決まります。

例：等式を数値で確かめる

$\alpha =3+i$、$\beta =1+2i$ で両辺を計算します。

$\alpha +\beta =4+3i$ なので $|\alpha +\beta {|}^2=25$。$\alpha -\beta =2-i$ なので $|\alpha -\beta {|}^2=5$。左辺は $30$ です。

右辺は $2(9+1)+2(1+4)=20+10=30$。両辺が合いました。

例：足す順番を変える

$\alpha +\beta$ と $\beta +\alpha$ は同じ点です。図では、平行四辺形の 2 通りの回り道が同じ頂点へ着くことにあたります。

3 つ以上でも同じで、$(\alpha +\beta )+\gamma$ と $\alpha +(\beta +\gamma )$ は一致する。矢印を継ぎ足す順番は結果を変えません。

引き算では順番が効きます。$\beta -\alpha$ と $\alpha -\beta$ は向きが逆の矢印になる。

よくある誤り

足すと図形ができ、引くと物差しになる。この 2 つの役割を分けておけば、複素数平面の図形問題はほとんどが矢印の計算に落ちます。

参考